Danh sách vấn đề mở trong toán học

Danh sách các vấn đề mở trong toán học

Danh sách các bài toán mở trong toán học nói chung

Nhiều nha toán học và tổ chức đã xuất bản danh sách cái bài toán mở. Trong một số trường hợp, danh sách còn được đi kèm với giải thưởng cho ai giải nó đầu tiên.

Danh sách	Số bài toán	Số bài toán chưa giải hoặc chưa giải hết	Người đưa	Thời gian
Các bài toán của Hilbert^[1]	23	15	David Hilbert	1900
Các bài toán của Landau^[2]	4	4	Edmund Landau	1912
Các bài toán của Taniyama^[3]	36	-	Yutaka Taniyama	1955
24 câu hỏi của Thurston^[4]^[5]	24	-	William Thurston	1982
Các bài toán của Smale	18	14	Stephen Smale	1998
Các bài toán thiên niên kỷ	7	6^[6]	Viện toán học Clay	2000
Các bài toán của Simon	15	<12^[7]^[8]	Barry Simon	2000
Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century dịch: Các bài toán mở cho toán học thế kỷ 21^[9]	22	-	Jair Minoro Abe, Shotaro Tanaka	2001
Các bài toán của DARPA^[10]^[11]	23	-	DARPA	2007

Các bài toán thiên niên kỷ

Trong 7 bài toán thiên niên kỷ gốc được đặt bởi viện toán học Clay vào 2000, còn 6 bài vẫn chưa được giải vào thời điểm tháng 6, 2022:^[6]

Bài toán thứ 7, giả thuyết Poincaré, đã được giải;^[12] tuy nhiên, dạng tổng quát được gọi là giả thuyết Poincaré trơn 4-chiều hỏi rằng liệu một mặt cầu tôpô 4 chiều có hai hay nhiều hơn cấu trúc trơn không tương đương nhau được không?- đến nay vẫn chưa giải được.^[13]

Trong hình học

Hình học rời rạc

Giải bài toán cái kết có hậu cho $n$ tuỳ ý^[16]
Giả thuyết Kusner: Chỉ có tối đa $2d$ điểm được đặt cách đều nhau trong các $L^{1}-$ không gian?^[17]

Hình học Euclid

Bài toán lạc trong rừng của Bellman – Tìm đường đi ngắn nhất chạm tới biên của một hình cho trước khi không biết điểm bắt đầu và hướng?^[18]
Giả thuyết Falconer: Các tập hợp có số chiều Hausdorff lớn hơn $d/2$ trong $\mathbb {R} ^{d}$ phải có tập khoảng cách có độ đo Lebesgue khác không?^[19]
Bài toán di chuyển sofa – Tìm diện tích lớn nhất của hình có thể di chuyển qua một hành lang hình chữ L có độ rộng bằng một?^[20]

Trong đại số

Giả thuyết Bombieri-Lang trên mật độ các điểm hữu tỉ trên mặt phẳng đại số và đa tạp đại số định nghĩa trên các trường số và các mở rộng trường của chúng.
Giả thuyết Köthe: Nếu vành có ideal lũy linh duy nhất là {0} thì nó không có ideal 1 phía lũy linh khác ngoại trừ {0}.
Giả thuyết Sendov: Nếu một đa thức phức bậc lớn hơn hoặc bằng 2 có tất cả các nghiệm của nó nằm trong hình tròn đơn vị đóng thì mỗi nghiệm của nó cách với một số điểm cực trị với khoảng cách bằng 1.
Bài toán nhúng Connes trong lý thuyết đại số Von Neumann,
Giả thuyết Hadamard rằng với mọi số nguyên k, tồn tại ma trận Hadamard với bậc 4k.
Giả thuyết cơ sở Rota: Xét các matroid hạng $n$ cùng với $n$ cơ sở không giao nhau $B_{i}$ , ta có thể tạo ma trận kích thước $n\times n$ trong đó các hàng là $B_{i}$ và các cột là các cơ sở.

Lý thuyết nhóm

Liệu có vô số nhóm Leinster?
Tìm các điều kiện cho các số tự nhiên m, n sao cho nhóm Burnside tự do B(m,n) hữu hạn? Cụ thể hơn, liệu B(2, 5) có hữu hạn?

Trong khoa học máy tính

Bài toán P so với NP

Trong lý thuyết số

Giả thuyết, bài toán mở

Giả thuyết abc
Giả thuyết Pillai: cho bất kỳ $A,B,C$ , phương trình $Ax^{m}-By^{n}=C$ có hữu hạn số nghiệm khi $m,n$ không cùng bằng $2$ .
Bài toán Erdős–Moser: Liệu có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ $1^{1}+2^{1}=3^{1}$ cho phương trình Erdős–Moser?
Bài toán Brocard: Liệu có nghiệm nguyên nào khác ngoại trừ $n=4,5,7$ cho phương trình $n!+1=m^{2}$ ?
Số nguyên nào có thể viết thành tổng của ba số lập phương?^[21]
Giả thuyết Goormaghtigh trên các nghiệm cho phương trình $(x^{m}-1)/(x-1)=(y^{n}-1)/(y-1)$ với $x>y>1$ và $m,n>2$ .
Giả thuyết Grimm: Cho dãy hợp số liên tiếp, liệu có thể gán mỗi hợp số một ước nguyên tố phân biệt?
Giả thuyết Hall: Cho bất kỳ $\epsilon >0$ , tồn tại một số hằng số $c(\epsilon )$ sao cho $y^{2}=x^{3}$ hoặc $|y^{2}-x^{3}|>c(\epsilon )x^{1/2-\epsilon }$ trong đó $x,y\in \mathbb {Z}$ .
Giả thuyết Scholz: Độ dài của xích cộng ngắn nhất cho ra $2^{n}-1$ có cận trên bằng với $n-1$ cộng độ dài của xích cộng ngắn nhất cho $n$ .
Bài toán Hilbert thứ 11: Phân loại các dạng toàn phương trên trường số đại số
Bài toán Hilbert thứ 12: Mở rộng định lý Kronecker–Weber trên mở rộng Abel của $\mathbb {Q}$ cho bất kỳ trường số

Câu hỏi mở

Liệu có vô số số hoàn hảo?
Liệu có tồn tại số hoàn hảo lẻ?
Liệu có vô số số Giuga?
Liệu có vô số số bạn bè?
Liệu có cặp số bạn bè nào nguyên tố cùng nhau không?
Liệu có tồn tại số lạ lẻ?
Liệu có số gần hoàn hảo thiếu nào không phải luỹ thừa của hai?
Liệu có thể xây dựng ma trận kì ảo từ 9 số chính phương phân biệt?
Có 65, 66 hay 67 số idoneal?

Lý thuyết số cộng tính

Giả thuyết Beal rằng xét phương trình $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ với $x,y,z>2$ , ba số nguyên $A,B,C$ phải có chung một số ước nguyên tố?
Giả thuyết Goldbach rằng có phải mọi số chẵn lớn hơn hoặc bằng 4 đều có thể viết thành tổng của hai số nguyên tố?
Giả thuyết Lemoine rằng mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 có thể viết thành tổng của một số nguyên tố lẻ và một số nửa nguyên tố chẵn?
Tính các giá trị g(k) và G(k) của bài toán Waring?

Lý thuyết số đại số

Giả thuyết Kummer-Vandiver rằng số nguyên tố p không phải là ước của số lớp của trường con thực cực đại của trường cyclotomic thứ p.
Giả thuyết 1/4 của Selberg rằng các giá trị riêng của toán tử Laplace trên dạng sóng Maass của các nhóm con tương đẳng phải ít nhất bằng 1/4.

Số nguyên tố

Giả thuyết Elliott–Halberstam trên sự phân phối của các số nguyên tố trên cấp số cộng
Giả thuyết Dubner: mọi số nguyên chẵn lớn hơn 4208 là tổng của hai số nguyên tố sinh đôi (hai số đó không nhất thiết phải là sinh đôi của nhau)
Giả thuyết Brocard: Có ít nhất bốn số nguyên tố nằm giữa bình phương của hai số nguyên tố liên tiếp, ngoại trừ $2^{2}$ và $3^{2}$
Giả thuyết Feit-Thompson: Cho mọi cặp số nguyên tố phân biệt $p$ và $q$ , $(q^{p}-1)/(q-1)$ không chia hết cho $(p^{q}-1)/(p-1)$
Các bài toán của Landau
Liệu mọi số Euclid đều square-free?
Liệu mọi số Fermat đều square-free?
Liệu có vô số số nguyên tố Fibonacci?
Liệu có vô số số nguyên tố Woodall?
Liệu có vô số số nguyên tố sinh đôi?
Liệu có vô số số nguyên tố họ hàng?
Liệu có vô số số nguyên tố chính quy, và nếu đúng thì có phải mật độ tương đối của nó bằng với $e^{-1/2}$ ?
Liệu có vô số số nguyên tố Sophie Germain?
Liệu có vô số số nguyên tố Mersenne?
Liệu có vô số số nguyên tố sexy?
Liệu có vô số số nguyên tố Lucas?
Liệu có vô số số nguyên tố Cullen?
Liệu có vô số số nguyên tố Wolstenholme?
Liệu có tồn tại số nguyên tố p có thể thỏa mãn đồng thời 2^p-1 ≡ 1 (mod p²) và 3^p-1 ≡ 1 (mod p²)^[22]
Cho số nguyên dương a bất kỳ, liệu có vô số số nguyên tố p sao cho a^{p − 1} ≡ 1 (mod p²)?^[23]
Cho số nguyên a bất kỳ không phải số chính phương và không bằng với −1, liệu có vô số số nguyên tố có a là nghiệm nguyên thuỷ?
Cho bất kỳ số nguyên b không phải luỹ thừa hoàn hảo và không nằm dưới dạng −4k⁴ với k nguyên, liệu có vô số số nguyên tố repunit cơ số b?
Tìm số Skewes nhỏ nhất
Có số Fortune nào là hợp số không?
Dãy Euclid-Mullin có chứa mọi số nguyên tố không?
Có đúng rằng số Fermat 2^2ⁿ + 1 là hợp số với mọi n > 4?
Chứng minh giả thuyết ngược lại cho định lý Wolstenholme cho mọi số tự nhiên?

Trong lý thuyết trò chơi

Sudoku
- Có bao nhiêu bài đố Sudoku chỉ có đúng 1 lời giải?
- Có bao nhiêu bài đố Sudoku chỉ có đúng 1 lời giải và đồng thời tối tiểu?
Cho độ rộng của bàn tic-tac-toe, tìm số chiều nhỏ nhất sao cho bên X có chiến thuật chắc chắn thắng?^[24]

Trong lý thuyết tổ hợp

Bài toán 3 điểm không cùng đường: Trên 1 hình vuông kẻ ô có kích thước n x n, có bao nhiêu điểm ta có thể đặt sao cho bất kỳ 3 điểm không nằm trên cùng 1 đường?
Tính các giá trị của các số Ramsey, cụ thể hơn là số $R(5,5)$ ?

Trong lý thuyết đồ thị

Đồ thị con

Giả thuyết độ bền của Chvátal, tồn tại giá trị $t$ sao cho mọi đồ thị có độ bền bằng $t$ thì đồng thời là Hamilton^[25]
Giả thuyết chu trình phủ kép: mọi đồ thị không cầu đều có họ các chu trình chứa mỗi cạnh đúng hai lần^[26]

Tô màu và dán nhãn đồ thị

Một ví dụ của giả thuyết Erdős–Faber–Lovász: đồ thị lấy từ 4 clique 4 đỉnh, trong bất cứ hai trong số đó đều giao với nhau 1 đỉnh. Đồ thị có thể được tô 4 màu

Giả thuyết Cereceda trên đường kính của không gian màu của các đồ thị suy biến^[27]
Giả thuyết Erdős–Faber–Lovász cho việc tô màu hợp của các clique^[28]
Bài toán Hadwiger–Nelson trên giá trị sắc số của các đồ thị có khoảng cách bằng một^[29]

Vẽ đồ thị

Giả thuyết Harborth: mọi đồ thị phẳng đều vẽ được với các cạnh có độ dài nguyên^[30]

Đường đi và chu trình trong đồ thị

Giả thuyết Lovász trên các đường đi Hamilton trong đồ thị đối xứng^[31]

Một số bài toán khác

Bài toán Babai: nhóm nào là nhóm bất biến Babai?
Bài toán đường kính và bậc: Cho hai số nguyên dương $d,k$ , tìm đồ thị lớn nhất có đường kính $k$ sao cho tất cả các đỉnh đều có bậc tối đa bằng $d$ ?
Bài toán đồ thị 99 đỉnh của Conway: Liệu có tồn tại đồ thị chính quy mạnh với tham số (99,14,1,2)?^[32]
Bài toán Zarankiewicz: Có thể có bao nhiêu cạnh trên đồ thị hai phía trên số đỉnh cho trước sao cho đồ thị đó không có đồ thị con hai phía đầy đủ với kích thước cho trước?

Trong giải tích

Giả thuyết Riemann
Phân tích các hằng số sau: $\gamma$ (hằng số Euler–Mascheroni), $π$ + e, $π$ − e, $π$ e, $π$ /e, $π$ ^e, $π$ ^√2, $π$ ^$π$, e^{$π$ ²}, ln $π$ , 2^e, e^e, hằng số Catalan, và hằng số Khinchin; kiểm tra trong mỗi hằng trên liệu nó có phải số hữu tỉ, số đại số hay là số siêu việt? Tính độ đo vô tỷ của mỗi số này?^[33]^[34]^[35]
Giả thuyết Lehmer cho độ đo Mahler của các đa thức không cyclotomic.
Bài toán không gian con bất biến: Liệu có phải mọi toán tử bị chặn trên không gian phức Banach gửi một số không gian con đóng không tầm thường tới chính nó?
Xét tính hội tụ của chuỗi Flint Hills?

Trong hệ thống động lực

Phỏng đoán Collatz (hay bài toán 3n+1)
Giả thuyết MLC: tập Mandelbrot có liên thông địa phương không?
Liệu mọi dãy tung hứng có chạm về 1 không?

Trong lý thuyết mô hình và ngôn ngữ hình thức

Giả thuyết Cherlin-Zilber: Nhóm đơn có lý thuyết bậc nhất của nó ổn định trong $\aleph _{0}$ là nhóm đơn đại số trên trường đóng đại số.
Giả thuyết trường ổn định: Mọi trường vô hạn có lý thuyết bậc nhất ổn định thì khả ly và đóng
Giả thuyết Vaught: Số lượng các mô hình đếm được của lý thuyết đầy đủ bậc nhất trong ngôn ngữ đếm được là hữu hạn, $\aleph _{0}$ hoặc $2^{\aleph _{0}}$
Có phải mọi trường vô hạn đặc số không và tối thiểu đều đóng đại số? (Ở đây, "tối thiểu" nghĩa là mọi tập con định nghĩa được của cấu trúc này là hữu hạn hoặc đối hữu hạn.)
Lý thuyết trường các chuỗi Laurent trên $\mathbb {Z} _{p}$ có quyết định được không? Nếu xét trên các đa thức trên $\mathbb {C}$ thì sao?
Liệu có tồn tại logic L thoả mãn tính chất Beth và Δ-nội suy, đồng thời compact nhưng không thoả mãn tính chất nội suy?^[36]
Xác định cấu trúc của cấp Keisler.^[37]^[38]

Trong lý thuyết tập hợp

Liệu có tồn tại đại số Jónsson trên $\aleph _{\omega }$
Liệu tiên đề tô màu mở có nhất quán với $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{2}$ ?
Không sử dụng tiên đề chọn, liệu có tồn tại phép nhúng sơ cấp không tầm thường $V\to V$ ?

Trong lý thuyết tô pô

Giả thuyết Novikov trên bất biến đồng luân của một số đa thức trong các lớp Pontryagin của đa tạp, bắt nguồn từ nhóm cơ bản.
Giả thuyết Hilbert-Smith: Nếu nhóm tô pô compact địa phương có tác động trung thành và liên tục trên đa tạp tô pô thì nhóm đó phải là nhóm Lie

Các bài toán đã giải từ 1995

Giải tích

Giả thuyết độ đo Ahlfors (Ian Agol, 2004)^[39]

Lý thuyết số

Thế kỷ 21

Giả thuyết Catalan (Preda Mihăilescu, 2002)^[40]

Thế kỷ 20

Định lý Lafforgue (Laurent Lafforgue, 1998)^[41]
Định lý lớn Fermat (Andrew Wiles và Richard Taylor, 1995)^[42]^[43]