Số Skewes
Trong Lý thuyết số, Số Skewes là số trong rất nhiều số lớn được sử dụng bởi nhà toán học nam phi Stanley Skewes đặt làm cận trên cho số tự nhiên x nhỏ nhất thỏa mãn
trong đó là hàm đếm số nguyên tố và là hàm tích phân lôga. Số Skewes rất là lớn, nhưng nay người ta đã biết có giao điểm gần Nhưng hiện nay vẫn chưa biết được liệu nó có phải số nhỏ nhất.
Các số Skewes sửa
John Edensor Littlewood, người giám sát nghiên cứu của Skewes, đã chứng tỏ trong Littlewood (1914) rằng tồn tại một số như vậy (và do đó, sẽ là số Skewes đầu tiên); nghiễm nhiên phát hiện ra rằng dấu của hiệu đổi vô số lần. Tại thời gian đó, mọi chứng cứ bằng tính toán đều cho rằng luôn nhỏ hơn . Bài chứng minh của Littlewood tuy nhiên không hề tìm hay cho một số cụ thể.
Skewes (1933) chứng minh rằng, nếu giả sử giả thuyết Riemann là đúng, thì tồn tại số vi phạm nằm dưới
- .
Trong Skewes (1955), nếu không dùng đến giả thuyết Riemann, Skewes đã chứng minh rằng tồn tại nằm dưới
- .
Nhiệm vụ của Skewes là đảm bảo bài chứng minh tính tồn tại trên của Littlewood có hiệu lực: biểu diễn một số cận trên cụ thể cho lần đầu đổi dấu.
Các ước tính gần đây sửa
Từ đó, các giá trị cận trên được giảm đi đáng kể nhờ dùng tính toán bằng điện tính cỡ lớn các nghiệm của hàm zeta Riemann. Ước lượng đầu tiên cho giá trị thực sự của giao điểm được cho bởi Lehman (1966), người chứng tỏ rằng giữa và có hơn số liên tiếp thỏa mãn . Không dùng giả thuyết Riemann, H. J. J. te Riele (1987) chứng minh một cận trên bằng . Một ước tính tốt hơn được tìm thấy bởi Bays & Hudson (2000), cặp đôi này đã chứng tỏ có ít nhất số nguyên liên tiếp đâu đó gần giá trị này thỏa mãn . Bays và Hudson tìm thấy các giá trị nhỏ hơn nhiều của sao cho tới gần ; thể hiện khả năng vẫn có các giao điểm chưa được xét, mặc dù điện toán cho rằng các giá trị này có thể không tồn tại. Chao & Plymen (2010) củng cố một chút kết quả của Bays và Hudson. Saouter & Demichel (2010) tìm một khoảng nhỏ hơn, sau được cải thiện bởi Zegowitz (2010). Cùng nguồn đấy cũng chi rằng tồn tại số vi phạm nằm dưới . Giá trị có thể giảm xuống dưới , nếu giả sử giả thuyết Riemann đúng. Stoll & Demichel (2011) cho .
Năm | Gần x | Số nghiệm phức được dùng | Bởi |
---|---|---|---|
2000 | 1.39822 ×10316 | 1 ×106 | Bays và Hudson |
2010 | 1,39801 ×10316 | 1 ×107 | Chao và Plymen |
2010 | 1.397166 ×10316 | 2,2 ×107 | Saouter và Demichel |
2011 | 1.397162 ×10316 | 2,0 ×1011 | Stoll và Demichel |
Một cách chặt chẽ, Rosser & Schoenfeld (1962) đã chứng minh rằng không có giao điểm nào dưới , được cải tiến bởi Brent (1975) thành , bởi Kotnik (2008) tới , bởi Platt & Trudgian (2014) tới , và bởi Büthe (2015) tới
Tham khảo sửa
- Bays, C.; Hudson, R. H. (2000), “A new bound for the smallest with ” (PDF), Mathematics of Computation, 69 (231): 1285–1296, doi:10.1090/S0025-5718-99-01104-7, MR 1752093, Zbl 1042.11001
- Brent, R. P. (1975), “Irregularities in the distribution of primes and twin primes”, Mathematics of Computation, 29 (129): 43–56, doi:10.2307/2005460, JSTOR 2005460, MR 0369287, Zbl 0295.10002
- Büthe, Jan (2015), An analytic method for bounding , arXiv:1511.02032, Bibcode:2015arXiv151102032B
- Chao, Kuok Fai; Plymen, Roger (2010), “A new bound for the smallest with ”, International Journal of Number Theory, 6 (03): 681–690, arXiv:math/0509312, doi:10.1142/S1793042110003125, MR 2652902, Zbl 1215.11084
- Kotnik, T. (2008), “The prime-counting function and its analytic approximations”, Advances in Computational Mathematics, 29 (1): 55–70, doi:10.1007/s10444-007-9039-2, MR 2420864, Zbl 1149.11004
- Lehman, R. Sherman (1966), “On the difference ”, Acta Arithmetica, 11: 397–410, doi:10.4064/aa-11-4-397-410, MR 0202686, Zbl 0151.04101
- Littlewood, J. E. (1914), “Sur la distribution des nombres premiers”, Comptes Rendus, 158: 1869–1872, JFM 45.0305.01
- Platt, D. J.; Trudgian, T. S. (2014), On the first sign change of , arXiv:1407.1914, Bibcode:2014arXiv1407.1914P
- te Riele, H. J. J. (1987), “On the sign of the difference ”, Mathematics of Computation, 48 (177): 323–328, doi:10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6, JSTOR 2007893, MR 0866118
- Rosser, J. B.; Schoenfeld, L. (1962), “Approximate formulas for some functions of prime numbers”, Illinois Journal of Mathematics, 6: 64–94, MR 0137689
- Saouter, Yannick; Demichel, Patrick (2010), “A sharp region where is positive”, Mathematics of Computation, 79 (272): 2395–2405, doi:10.1090/S0025-5718-10-02351-3, MR 2684372
- Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994), “Chebyshev's bias”, Experimental Mathematics, 3 (3): 173–197, doi:10.1080/10586458.1994.10504289, MR 1329368
- Skewes, S. (1933), “On the difference ”, Journal of the London Mathematical Society, 8: 277–283, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM 59.0370.02, Zbl 0007.34003
- Skewes, S. (1955), “On the difference (II)”, Proceedings of the London Mathematical Society, 5: 48–70, doi:10.1112/plms/s3-5.1.48, MR 0067145
- Stoll, Douglas; Demichel, Patrick (2011), “The impact of complex zeros on for ”, Mathematics of Computation, 80 (276): 2381–2394, doi:10.1090/S0025-5718-2011-02477-4, MR 2813366
- Tóth, László (2019), “On The Asymptotic Density Of Prime k-tuples and a Conjecture of Hardy and Littlewood” (PDF), Computational Methods in Science and Technology, 25 (3).
- Wintner, A. (1941), “On the distribution function of the remainder term of the prime number theorem”, American Journal of Mathematics, 63 (2): 233–248, doi:10.2307/2371519, JSTOR 2371519, MR 0004255
- Wolf, Marek (2011), “The Skewes number for twin primes: counting sign changes of π2(x) − C2Li2(x)” (PDF), Computational Methods in Science and Technology, 17.
- Zegowitz, Stefanie (2010), On the positive region of , Master's thesis, Manchester Institute for Mathematical Sciences, School of Mathematics, University of Manchester
Liên kết ngoài sửa
- Demichels, Patrick. “The prime counting function and related subjects” (PDF). Demichel. Bản gốc (pdf) lưu trữ ngày 8 tháng 9 năm 2006. Truy cập ngày 29 tháng 9 năm 2009.
- Asimov, I. (1976). “Skewered!”. Of Matters Great and Small. New York: Ace Books. ISBN 978-0441610723.