Lũy linh

Bài này viết về một phần tử đặc biệt trên vành. Đối với nhóm, xem Nhóm lũy linh. Đối với I-đê-an, xem I-đê-an lũy linh. Đối với nửa nhóm, xem Nửa nhóm lũy linh. Đối với một nhánh của đại số, xem Đại số lũy linh.

Trong toán học, một phần tử $x$ của một vành được gọi là lũy linh (tiếng Anh: nilpotent, thuật ngữ tiếng Việt là sự kết hợp của lũy thừa và gốc Hán-Việt "零-linh" có nghĩa là không) nếu tồn tại một số nguyên dương $n$ (được gọi là bậc của phần tử đó), thỏa mãn $x^{n}=0$.

Thuật ngữ này cùng với lũy đẳng đều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Benjamin Peirce khi ông viết về các nhánh của đại số.

Ví dụ

• Định nghĩa này có thể được áp dụng cho các ma trận vuông. Ma trận

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$

là lũy linh vì $A^{3}=0$. Xem ma trận lũy linh để biết thêm.

• Trong vành thương $\mathbb {Z} /9\mathbb {Z}$, lớp tương đương của 3 là lũy linh vì 3² đồng dư với 0 modulo 9.

• Giả sử hai phần tử $a$ và $b$ trên vành $R$ thỏa mãn $ab=0$. Khi đó, phần tử $c=ba$ là lũy linh do $${\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}$$

Xem thêm

• Vành giảm

Tham khảo

• Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results". Commutative Algebra. W. A. Benjamin. p. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
• Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (ngày 21 tháng 2 năm 1994). "Chapter 1: Rings and Ideals". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. p. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
• Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0