Định lý Wolstenholme

Trong toán học, định lý Wolstenholme phát biểu rằng với bất kỳ số nguyên tố $p\geq 5$, biểu thức đồng dư

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}$

được thỏa mãn, trong đó dấu ngoặc ký hiệu hệ số nhị thức. Để lấy ví dụ, với p = 7,thì 1716 lớn hơn một so với bội của 343. Định lý được lần đầu chứng minh bởi Joseph Wolstenholme trong 1862. Trong 1819, Charles Babbage chứng minh rằng nó cũng đồng dư với p². Một biểu thức tương đương như sau

${ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{3}}}$

cho $p\geq 5$, chứng minh bởi Wilhelm Ljunggren (và trong trường hợp đặc biệt $b=1$, bởi J. W. L. Glaisher) lấy cảm hứng từ định lý Lucas.

Không có hợp số nào được biết thỏa mãn định lý Wolstenholme và hiện có giả thuyết rằng sẽ không có hợp số nào có thể thỏa mãn, xem dưới. Một số nguyên tố thỏa mãn đồng dư với p⁴ được gọi là số nguyên tố Wolstenholme (xem dưới).

Định lý Wolstenholme có thể biểu diễn thành cặp đồng dư các số điều hòa (đã được tổng quát):

$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\dots +{1 \over p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}{\mbox{, và}}$

$1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+\dots +{1 \over (p-1)^{2}}\equiv 0{\pmod {p}}.$

Để lấy ví dụ, với p=7, biểu thức đầu tiên trong cặp nói rằng tử số của 49/20 là bội 49, trong khi biểu thức thứ hai trong cặp nói rằng tử số của 5369/3600 là bội của 7.

Số nguyên tố Wolstenholme

Bài chi tiết: Số nguyên tố Wolstenholme

Số nguyên tố p được gọi là số nguyên tố Wolstenholme khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện sau

${{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.$

Nếu p là số nguyên tố Wolstenholme prime, thì định lý Glaisher được thỏa mãn với đồng dư p⁴. Hiện có duy nhất hai số Wolstenholme được biết là 16843 và 2124679 (dãy số A088164 trong bảng OEIS); bất cứ số nguyên tố Wolstenholme nào khác đều phải lớn hơn 10⁹. Kết quả này hợp với tranh luận heuristic rằng phần dư modulo p⁴ là bội giả ngẫu nhiên của p³. Heuristic này phỏng đoán rằng số các số nguyên tố Wolstenholme nằm giữa K và N vào khoảng ln ln N − ln ln K. Điều kiện Wolstenholme được kiểm tra lên tới 10⁹, và theo heuristic thì có khoảng một số nguyên tố Wolstenholme nằm giữa 10⁹ và 10²⁴.

Chứng minh định lý

Có nhiều hơn một cách để chứng minh định lý Wolstenholme. Đây là bài chứng minh sử dụng phiên bản của Glaisher bao gồm cả đại số và tổ hợp.

Gọi p là số nguyên tố bất kì, và đặt a và b là hai số nguyên khác không bất kì. Khi đó tập A chứa ap phần tử có thể chia thành a vành với độ dài p, mỗi vành có thể được quay tùy ý. Do đó tổng trực tiếp của a nhóm cyclic cấp p tác động trên A, và theo mở rộng nó cũng tác động trên các tập con với cấp bp. Mỗi quỹ đạo của tác động nhóm này có p^k phần tử, với k là số vành chưa hoàn thiện, tức là có k vành chỉ giao một phần với tập con B trong quỹ đạo. Có $\textstyle {a \choose b}$ quỹ đạo với kích thước 1 và không có quỹ đạo nào với kích thước p. Do đó ta thu được định lý Babbage

${ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\pmod {p^{2}}}.$

Xét quỹ đạo với kích thước p², ta cũng thu được

${ap \choose bp}\equiv {a \choose b}+{a \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){a-2 \choose b-1}{\pmod {p^{3}}}.$

Ngoài các hệ quả khác, phương trình này cho ta biết a=2 và b=1 chứng minh trường hợp chung cho dạng thứ hai của định lý Wolstenholme.

Chuyển từ tổ hợp sang đại số, cả hai vế của phương trình đồng dư đều là đa thức của a với mỗi b cố định. Biểu thức do đó thỏa mãn cho bất kỳ số nguyên a, nếu b được cố định trước. Cụ thể hơn nếu a=-1 và b=1, thì

${-p \choose p}\equiv {-1 \choose 1}+{-1 \choose 2}\left({2p \choose p}-2\right){\pmod {p^{3}}}.$

Phép đồng dư này trở thành phương trình cho $\textstyle {2p \choose p}$ sử dụng quan hệ

${-p \choose p}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{2p \choose p}.$

Khi p lẻ, quan hệ thành

$3{2p \choose p}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.$

Khi p ≠ 3, ta có thể chia hai vế bằng 3.

Giả thuyết ngược lại

Hiện ta có giả thuyết rằng nếu

${2n-1 \choose n-1}\equiv 1{\pmod {n^{k}}}$

(1)

khi k=3, thì n là số nguyên tố. Giả thuyết này có thể hiểu nếu xét trước với k = 1 và 2 cũng như 3. Khi k = 1, từ định lý Babbage, phương trình trên chỉ thỏa mãn khi n = p² với p là số nguyên tố lẻ, trong khi định lý Wolstenholme cho rằng nó thỏa mãn với n = p³ và p > 3, và nó thỏa mãn với n = p⁴ khi p là số nguyên tố Wolstenholme. Khi k = 2, nó thỏa mãn với n = p² khi p là số nguyên tố Wolstenholme. Ba số sau, 4 = 2², 8 = 2³, và 27 = 3³ không thỏa mãn cho (1) với k = 1, nhưng các bình phương và lập phương khác của số nguyên tố thì thỏa mãn với (1) với k = 1. Chỉ có 5 hợp số không phải bình phương hay lập phương của số nguyên tố n thỏa mãn cho (1) với k = 1, các số đó được gọi là số giả nguyên tố Wolstenholme, các số đó là

27173, 2001341, 16024189487, 80478114820849201, 20378551049298456998947681, ... (dãy số A082180 trong bảng OEIS)

Ba số đầu tiên không phải lũy thừa hoàn hảo (dãy số A228562 trong bảng OEIS), và hai số cuối là 16843⁴ và 2124679⁴, 16843 và 2124679 là hai số nguyên tố Wolstenholme (dãy số A088164 trong bảng OEIS). Ngoài ra, với ngoại lệ của 16843² và 2124679², không có hợp số nào được biết thỏa mãn cho (1) với k = 2, hay k = 3.

Tổng quát

Leudesdorf chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên nguyên tố cùng nhau với 6, thì ta được:

$\sum _{i=1 \atop (i,n)=1}^{n-1}{\frac {1}{i}}\equiv 0{\pmod {n^{2}}}.$

Xem thêm

• Định lý nhỏ Fermat
• Định lý Wilson
• Số nguyên tố Wieferich
• Số nguyên tố Wilson
• Số nguyên tố Wall–Sun–Sun

Tham khảo

• Babbage, C. (1819), “Demonstration of a theorem relating to prime numbers”, The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49.
• Glaisher, J.W.L. (1900), “Congruences relating to the sums of products of the first n numbers and to other sums of products”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 31: 1–35.
• Glaisher, J.W.L. (1900), “Residues of binomial-theorem coefficients with respect to p³”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 31: 110–124.
• Glaisher, J.W.L. (1900), “On the residues of the sums of products of the first p−1 numbers, and their powers, to modulus p² or p³”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 31: 321–353.
• Granville, Andrew (1997), “Binomial coefficients modulo prime powers” (PDF), Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, 20: 253–275, MR 1483922, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 2 tháng 2 năm 2017.
• McIntosh, R. J. (1995), “On the converse of Wolstenholme's theorem” (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389.
• R. Mestrovic, Wolstenholme's theorem: Its Generalizations and Extensions in the last hundred and fifty years (1862—2012).
• Wolstenholme, Joseph (1862), “On certain properties of prime numbers”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35–39.

Liên kết ngoài

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime
• Status of the search for Wolstenholme primes