Tập hợp sắp thứ tự một phần

Quan hệ hai ngôi

	Đối xứng	Phản đối xứng	Toàn phần	Lập tốt	Có nối	Có gặp
Quan hệ tương đương	✓	✗	✗	✗	✗	✗
Tiền thứ tự (giả thứ tự)	✗	✗	✗	✗	✗	✗
Thứ tự riêng phần	✗	✓	✗	✗	✗	✗
Tiền thứ tự toàn phần	✗	✗	✓	✗	✗	✗
Thứ tự toàn phần	✗	✓	✓	✗	✗	✗
Tiền thứ tự tốt	✗	✗	✓	✓	✗	✗
Giả thứ tự tốt	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Thứ tự tốt	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Dàn	✗	✓	✗	✗	✓	✓
Nửa dàn có nối	✗	✓	✗	✗	✓	✗
Nửa dàn có gặp	✗	✓	✗	✗	✗	✓

Dấu "✓" chỉ tính chất trong cột đó cần phải có trong định nghĩa của hàng đó.
Ví dụ, định nghĩa của quan hệ tương đương buộc nó phải có tính đối xứng.
Tất cả định nghĩa đều yêu cầu tính bắc cầu và tính phản xạ.

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết thứ tự, một tập hợp sắp thứ tự một phần (hay còn gọi là tập hợp sắp thứ tự bộ phận, hay tập hợp sắp thứ tự riêng phần, hoặc được gọi ngắn đi là poset) bao gồm một tập hợp cùng với một quan hệ hai ngôi có tính phản xạ (mỗi phần tử được so sánh với chính nó), tính phản đối xứng (giữa hai phần tử có nhiều nhất một cách so sánh) và tính bắc cầu (ta có thể so sánh theo kiểu bắc cầu).^[1]

Từ "một phần" hay "bộ phận" trong tên quan hệ ý chỉ rằng không phải mọi cặp phần tử đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, có một số cặp phần tử ta không biết phần tử nào đứng trước trong tập sắp thứ tự một phần. Do đó, quan hệ thứ tự riêng phần là dạng tổng quát của quan hệ thứ tự toàn phần, quan hệ mà mọi cặp trong tập hợp đều so sánh được với nhau.

Định nghĩa không hình thức

Quan hệ thứ tự một phần là một khái niệm trong so sánh trong đó hai phần tử x và y chỉ nằm duy nhất một trong bốn quan hệ sau: hoặc x < y, hoặc x = y, hoặc x > y, hoặc x và y không so sánh được với nhau.^[2]^[3]

Tập hợp đi cùng quan hệ thứ tự một phần được gọi là tập hợp sắp thứ tự một phần. Tập hợp sắp thứ tự một phần thường được vẽ qua biểu đồ Hasse.^[4]

Quan hệ thứ tự một phần

Quan hệ thứ tự một phần là quan hệ thuần nhất có tính bắc cầu và phản đối xứng.^[5] Có hai định nghĩa thường gặp cho quan hệ thứ tự một phần phản xạ và không phản xạ, được gọi là "không nghiêm ngặt" và "nghiêm ngặt" tương ứng. Hai định nghĩa này có thể đặt trong ương ứng một-một, trong đó mỗi quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt có duy nhất một quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt tương ứng và ngược lại cũng thế. Thuật ngữ quan hệ thứ tự một phần thường là chỉ đến nhất quan hệ thứ một phần không nghiêm ngặt.

Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt

Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt^[6] (hoặc quan hệ thứ tự một phần yếu)^[5] là quan hệ thuần nhất ≤ có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu trên tập hợp $P$ , nghĩa là với mọi $a,b,c\in P,$ nó phải thỏa mãn:

Tính bắc cầu: $a\leq a$ , tức mỗi phần tử có quan hệ với chính nó
Tính phản đối xứng: nếu $a\leq b$ và $b\leq a$ thì $a=b$ , tức không có hai phần tử phân biệt nào đứng trước cái còn lại
Tính bắc cầu: nếu $a\leq b$ và $b\leq c$ thì $a\leq c$ .

Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt còn là tiền thứ tự phản đối xứng.

Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt

Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt^[5] (hoặc quan hệ thứ tự một phần mạnh) là quan hệ thuần nhất < có tính hoàn toàn không phản xạ, bất đối xứng và bắc cầu trên tập hợp P; nghĩa là nó phải thỏa mãn các điều kiện sau với mọi $a,b,c\in P:$

Tính hoàn toàn không phản xạ: không $a<a$ , tức không có phần tử nào có quan hệ với chính nó
Tính bất đối xứng: nếu $a<b$ thì không $b<a$ .
Tính bắc cầu: nếu $a<b$ và $b<c$ thì $a<c$ .

Tính hoàn toàn không phản xạ và tính bắt cầu suy ra tính bất đối xứng. Tính bất đối xứng thì sẽ suy ra tính hoàn toàn không phản xạ. Nói cách khác, quan hệ bắc cầu có tính bất đối xứng khi và chỉ khi nó hoàn toàn không phản xạ.^[7] Do vậy, định nghĩa giữ nguyên kể cả khi nó bỏ đi điều kiện hoàn toàn không phản xạ hoặc điều kiện bất đối xứng (nhưng không thể bỏ cả hai).

Quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt còn được gọi là tiền thứ tự nghiêm ngặt.

Mối liên hệ giữa quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt

Hình 2. Biểu đồ giao hoán về các mối liên hệ giữa quan hệ nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt cùng với đối ngẫu của chúng, qua bao đóng phản xạo (cls), hạt nhân không phản xạ (ker), và quan hệ ngược (cnv). Mỗi quan hệ được biểu diễn bằng ma trận logic của nó cho biểu đồ Hasse ở trung tâm của hình ảnh.Ví dụ chẳng hạn

3\not \leq 4

nên ô ở hàng 3, cột 4 của ma trận góc dưới bên trái được để trống.

Quan hệ một phần nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt trên cùng tập hợp $P$ có quan hệ gần gũi với nhau. Quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt $\leq$ có thể biến đổi sang dạng nghiêm ngặt bằng cách loại bỏ tất cả quan hệ dưới dạng $a\leq a;$ tức quan hệ nghiêm ngặt là tập hợp $<\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}$ trong đó $\Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}$ là quan hệ đơn vị trên $P\times P$ và $\;\setminus \;$ ký hiệu hiệu tập hợp. Ngược lại, quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt < trên $P$ có thể đổi sang dạng không nghiêm ngặt bằng cách hợp thêm các quan hệ dưới dạng đó; tức là, $\leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;$ là quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt . Do đó, nếu $\leq$ là quan hệ thứ tự một phần, thì quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt < là hạt nhân không phản xạ được cho bởi $a<b{\text{ nếu }}a\leq b{\text{ và }}a\neq b.$ Ngược lại, nếu < là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt thì quan hệ thứ tự một không phần nghiêm ngặt $\leq$ là bao đóng phản xạ được đưa bởi

$a\leq b{\text{ nếu }}a<b{\text{ hoặc }}a=b.$

Quan hệ đối ngẫu

Đối ngẫu (hoặc đối ngược) $R^{\text{op}}$ của quan hệ thứ tự một phần $R$ được định nghĩa bằng cách đặt $R^{\text{op}}$ là quan hệ ngược của $R$ , tức. $xR^{\text{op}}y$ khi và chỉ khi $yRx$ . Đối ngẫu của quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt,^[8] tương tự như vậy đối với đối ngẫu của quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt.

Thuật ngữ

Ta có thể coi tập hợp sắp thứ tự một là bộ ba $(P,\leq ,<)$ ,^[9] trong đó $\leq$ là quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt trên $P$ , $<$ là quan hệ một phần nghiêm ngặt tương ứng trên $P$ (hạt nhân không phản xạ của của $\leq$ ), $\geq$ là đối ngẫu của $\leq$ , và $>$ là đối ngẫu của $<$ .

Bất kỳ một trong bốn quan hệ thứ tự một phần $\leq ,<,\geq ,{\text{ và }}>$ trên cùng một tập cho trước sẽ xác định duy nhất ba quan hệ còn lại. Do đó khi ký hiệu,ta có thể viết $(P,\leq )$ hoặc $(P,<)$ và giả định rằng các quan hệ còn lại được định nghĩa tương tự. Các nhà toán học thường định nghĩa bằng quan hệ thứ tự một phần không nghiêm ngặt $\leq$ . Một số tác giả dùng ký hiệu khác thay vì $\leq$ ví dụ như $\sqsubseteq$ ^[10] hoặt $\preceq$ ^[11] để phân biệt quan hệ thứ tự một phần với toàn phần.

Khi nhắc đến thứ tự một phần, $\leq$ không nên được coi là phần bù của $>$ . Quan hệ $>$ là quan hệ ngược của hạt nhân không phản xạ của $\leq$ , hạt nhân này luôn là tập con của phần bù của $\leq$ , nhưng $>$ chỉ bằng với phần bù của $\leq$ khi và chỉ khi $\leq$ là quan hệ toàn phần.^[a]

Các ví dụ

Hình 3. Đồ thị của tính chia hết của các số từ 1 dến 4. Tập hợp này sắp tự một phần nhưng không toàn phần vì có quan hệ từ 1 đến các số còn lại nhưng không có quan hệ nào từ số 2 đến số 3 hay từ số 3 đến số 4.

Các ví dụ của tập hợp sắp thứ tự một phần trong toán học bao gồm

Tập số thực, hoặc tổng quát hơn là bất kỳ tập có thứ tụ toàn phần, có quan hệ thứ tự nhỏ hơn hoặc bằng ≤, là tập sắp thứ tự một phần không nghiêm ngặt.
Vẫn trên tập số thực $\mathbb {R}$ , quan hệ chuẩn nhỏ hơn < là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt. Điều này cũng đúng với quan hệ lớn hơn > trên $\mathbb {R}$ .
Theo định nghĩa, mọi quan hệ thứ tự yếu nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt.
Tập các tập con của tập cho trước (tập lũy thừa) sắp xếp theo quan hệ bao hàm trong (xem hình 1). Tương tư như vậy đối với tập các dãy sắp xếp theo dãy con và tập các xâu sắp thứ tự theo xâu con.
Tập hợp các số tự nhiên cùng quan hệ chia hết. (xem hình 3 và hình 6)
Tập đỉnh của đồ thị có hướng không chu trình xếp thứ tự theo tính chạm được.
Tập các không gian con của không gian vectơ xếp thứ tự theo phép bao hàm.
Cho tập sắp thứ tự một phần P, không gian dãy chứa tất cá các dãy phần tử của P, trong đó dãy a đứng trước dãy b nếu mỗi phần tử trong a đứng trước phần tử tương ứng trong b. Dưới công thức, $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ khi và chỉ khi $a_{n}\leq b_{n}$ với mọi $n\in \mathbb {N}$ ; đây là quan hệ thứ tự từng phần.
Cho tập hợp X và tập sắp thứ tự một phần P, không gian hàm chứa mọi hàm từ X đến P, trong đó f ≤ g khi và chỉ khi f(x) ≤ g(x) với mọi $x\in X.$
Trong toán học, rào là tập hợp sắp thứ tự một phần được định nghĩa bằng dãy thay phiên các quan hệ thứ tự a < b > c < d ...
Tập các sự kiện trong tương đối hẹp và trong đa số trường hợp của^[b] tương đối rộng, trong đó cho hai sự kiện X và Y, X ≤ Y khi và chỉ khi Y nằm trong nón ánh sáng của X. Sự kiện Y chỉ có thể là hệ quả của X khi X ≤ Y.

Một ví dụ khác thường gặp trong ngoài đời là tập các con người sắp xếp theo thứ tự phả hệ. Một số cặp người có thể có quan hệ tổ tiên-con cháu nhưng cũng có một số cặp người không so sánh với nhau vì không ai trong cặp là con cháu của người kia.

Thứ tự trên tích Descartes của tập sắp thứ tự một phần

Hình 4a. Thứ tự từ điển trên

\mathbb {N} \times \mathbb {N}

Hình 4b. Thứ tự tích trên

\mathbb {N} \times \mathbb {N}

Hình 4c. Bao đóng phản xạ của thứ tự tích nghiêm ngặt trên

\mathbb {N} \times \mathbb {N} .

Các phần tử được phủ bởi (3, 3) và phủ (3, 3) được tô màu xanh là và đỏ tương ứng.

Đây là ba trong nhiều quan hệ thứ tự một phần được định nghĩa trên tích đề các của hai tập hợp sắp thứ tự một phần, xếp thứ tự từ yếu đến mạnh (xem hình 4):

Thứ tự từ điển: (a, b) ≤ (c, d) nếu a < c hoặc (a = c và b ≤ d);
Thứ tự tích: (a, b) ≤ (c, d) nếu a ≤ c và b ≤ d;
Bao đóng phản xạ của tích trực tiếp của hai thứ tự nghiêm ngặt tương ứng: (a, b) ≤ (c, d) nếu (a < c và b < d) hoặc (a = c và b = d).

Cả ba đều có thể định nghĩa tương tự cho tích Descartes của nhiều hơn hai tập hợp.

Khi áp dụng cho các không gian vectơ có thứ tự trên cùng một trường, kết quả thu được trong mỗi trường hợp cũng là không gian vectơ có thứ tự.

Xem thêm Quan hệ thứ tự trên tích Descartes của tập sắp thứ tự toàn phần

Tổng của tập sắp tự thứ tự một phần

Một cách khác để hợp hai tập sắp thứ tự một phần (không giao nhau) là tổng thứ tự^[12] (hay còn gọi là tổng tuyến tính),^[13] Z = X ⊕ Y, được định nghĩa trên hợp của hai tập X và Y theo quan hệ a ≤_Z b khi và chỉ khi:

a, b ∈ X và a ≤_X b, hoặc
a, b ∈ Y và a ≤_Y b, hoặc
a ∈ X và b ∈ Y.

Nếu hai tập sắp thứ tự một phần đó có thứ tự tốt, thì tổng thứ tự của nó cũng vậy.^[14]

Các thuật ngữ liên quan

Các ví dụ sau sử dụng tập hợp sắp thứ tự một phần $({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )$ bao gồm tập các tập con của $\{x,y,z\},$ được xếp theo quan hệ bao hàm (xem hình 1).

a có quan hệ với b khi a ≤ b. Điều này không có nghĩa b cũng có quan hệ với a, bởi vì quan hệ không cần phải đối xứng. Lấy ví dụ, $\{x\}$ có quan hệ với $\{x,y\},$ nhưng ngược lại thì không.
a và b so sánh được với nhau nếu a ≤ b hoặc b ≤ a. Ngược lại, thì chúng được gọi là không so sánh được với nhau.Ví dụ chẳng hạn, $\{x\}$ và $\{x,y,z\}$ so sánh được với nhau, trong khi $\{x\}$ và $\{y\}$ thì không.
Quan hệ toàn phần hoặc quan hệ tuyến tính là quan hệ thứ tự một phần mà mọi cặp phần tử đều so sánh được với nhau. Ví dụ chẳng hạn như tập số tự nhiên cùng quan hệ thứ tự tự nhiên của nó.
Xích là tập con có thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự một phần. Ví dụ chẳng hạn,, $\{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}$ là một xích.
Phản xích là tập con của tập sắp thứ tự một phần mà trong đó không có hai phần tử phân biệt nào so sánh được với nhau, ví dụ như tập các tập một phần tử $\{\{x\},\{y\},\{z\}\}.$
Phần tử a được gọi là nhỏ hơn nghiêm ngặt với phần tử b, nếu a ≤ b và $a\neq b.$ Ví dụ, $\{x\}$ nhỏ hơn nghiêm ngặt với $\{x,y\}.$
Phần tử a được gọi là phủ bởi phần tử b, được viết là a ⋖ b (hoặc a <: b), nếu a nhỏ hơn nghiêm ngặt với b và không có phần tử thứ ba c nằm giữa chúng, nói dưới dạng hình thức: nếu đồng thời a ≤ b và $a\neq b$ , và a ≤ c ≤ b là sai với với mọi c thỏa mãn $a\neq c\neq b.$ Dưới thứ tự nghiêm ngặt <, quan hệ a ⋖ b có thể nói như sau "a < b nhưng không a < c < b cho bất kỳ c". Ví dụ chẳng hạn, $\{x\}$ được phủ bởi $\{x,z\},$ nhưng không được phủ bởi $\{x,y,z\}.$

Cực trị

Hình 5. Hình ảnh này là hình số 1 khi bỏ phần tử lớn nhất và nhỏ nhất. Trong tập đã được rút gọn này, hàng trên là của ba phần tử tối đại còn hàng dưới là của ba phần tử tối tiểu. Tập này không có phần tử lớn nhất hay nhỏ nhất.

Có một số khái niệm cho phần tử "lớn nhất" và "nhỏ nhất" trong tập sắp thứ tự một phần $P,$ nhất là:

Phần tử lớn nhất và nhỏ nhất: Phần tử $g\in P$ là phần tử lớn nhất nếu với mọi phần tử $a\in P,a\leq g.$ Phần tử $m\in P$ là phần tử nhỏ nhất nếu với mọi phần tử $a\in P,m\leq a.$ Tập sắp thứ tự một phần chỉ có một phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Trong ví dụ trước, tập $\{x,y,z\}$ phần tử lớn nhất còn $\{\,\}$ là phần tử nhỏ nhất.
Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu: Phần tử $g\in P$ là phần tử tối đại nếu không có phần tử $a\in P$ sao cho $a>g.$ Tương tự như vậy, phần tử $m\in P$ là phần tử tối tiểu nếu không có phần tử $a\in P$ sao cho $a<m.$ Nếu tập sắp thứ tự một phần có phần tứ lớn nhất đó thì phần tử đó là phần tử tối đại duy nhất, nhưng nếu không thì có thể có nhiều hơn một phần tử tối đại, và tương tự như vậy cho phần tử nhỏ nhất và phần tử tối tiểu. Ở ví dụ trước, $\{x,y,z\}$ và $\{\,\}$ là phần tử lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng. Bỏ hai phần tử này đi thì sẽ có 3 phần tử tối đại và 3 phần tử tối tiểu (xem hình 5).
Cận trên và dưới: Cho tập con A của P, phần tử x thuộc P là cận trên của A nếu a ≤ x, với mỗi phần tử a thuộc A. Cụ thể hơn, x không nhất thiết phải nằm trong A để trở thành cận trên của A. Tương tự như vậy, phần tử x thuộc P là cận dưới của A nếu a ≥ x, với mỗi phần tử a thuộc A. Phần tử lớn nhất của P cũng là cận trên của P, và phần tử nhỏ nhất là cận dưới của P. Trong ví dụ này, tập $\{x,y\}$ là cận trên cho tập các phần tử $\{\{x\},\{y\}\}.$

Hình 6. Các số nguyên không âm được sắp thứ tự theo tính chia hết

Giống với ví dụ trên, xét tập số các số nguyên dương được sắp theo tính chia hết:: 1 là phần tử nhỏ nhất, bởi nó là ước của mọi số còn lại, tập này không có phần tử lớn nhất (tuy nhiên nếu ta cho số 0 vào thì số 0 trở thành phần tử lớn nhất vì nó là bội của bất kỳ số nguyên, xem hình 6). Tập sắp thứ tự một phần này không có phần tử tối đại nào vì bất kỳ g đều sẽ là ước của số khác (chẳng hạn như 2g), phân biệt với nó, do đó g không tối đại. Nếu số 1 được bỏ đi mà vẫn giữa tính chia hết cũng như thứ tự của các số lớn hơn một, thì tập sắp thứ tự một phần thu được không có phần tử nhỏ nhất nhưng bất kỳ số nguyên tố là phần tử tối tiểu của nó. Trong tập sắp thứ tự một phần này, 60 là cận trên (nhưng chưa phải cận trên nhỏ nhất) của tập con $\{2,3,5,10\},$ tập con này không có cận dưới (vì số 1 không còn trong tập khác); mặt khác, số 2 là cận dưới của tập con chứa các lũy thừa của 2, tập con này không có cận trên.

Ánh xạ giữa hai tập sắp thứ tự một phần

Hình 7a. Ánh xạ này bảo toàn thứ tự nhưng không phản xạ thứ tự (vì f(u) ≼ f(v), nhưng không u

\leq

v).

Hình 7b. Đẳng cấu thứ tự giữa các ước số của 120 (sắp thứ tự một phần theo tính chia hết) và tập con của {2, 3, 4, 5, 8} (sắp thứ tự một phần theo quan hệ bao hàm)

Cho hai tập hợp sắp thứ tự một phần (S, ≤) và (T, ≼),^[c] hàm $f:S\to T$ được gọi là bảo toàn thứ tự, đơn điệu, hoặc đẳng điệu, nếu với mọi $x,y\in S,$ $x\leq y$ suy ra f(x) ≼ f(y). Nếu (U, ≲) cũng là tập sắp thứ tự một phần và cả hai hàm $f:S\to T$ và $g:T\to U$ đều bảo toàn thứ tự thì hàm hợp $g\circ f:S\to U$ cũng bảo toàn thứ tự. Hàm $f:S\to T$ được gọi là phản xạ thứ tự nếu với mọi $x,y\in S,$ f(x) ≼ f(y) suy ra $x\leq y.$ Nếu $f$ vừa bảo toàn thứ tự vừa phản xạ thứ tự thì nó được gọi là phép nhúng thứ tự của (S, ≤) vào (T, ≼). Trong trường hợp này, $f$ phải là đơn ánh, vì $f(x)=f(y)$ suy ra $x\leq y{\text{ và }}y\leq x$ và do vậy $x=y$ theo tính phản đối xứng của $\leq .$ Nếu tồn tại phép nhúng thứ tự giữa hai tập sắp thứ tự một phần S và T, ta có thể nói S được nhúng vào T. Nếu phép nhúng thứ tự $f:S\to T$ là song ánh. thì nó được gọi là đẳng cấu thứ tự và hai thứ tự một phần (S, ≤) và (T, ≼) được gọi là đẳng cấu với nhau. Quan hệ thứ tự đẳng cấu với nhau có cấu trúc biểu đồ Hasse tương tự với nhau (xem hình 7a). Ta có thể chứng minh nếu tồn tại hai ánh xạ bảo toàn thứ tự $f:S\to T$ và $g:T\to U$ sao cho cả hai $g\circ f$ và $f\circ g$ đều là hàm đồng nhất trên S và T, tương ứng, thì S và T đẳng cấu thứ tự với nhau.^[15]

Ví dụ, xét hàm $f:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )$ từ tập hợp các số tự nhiên (xếp theo tính chia hết) tới tập lũy thừa của các số tự nhiên (xếp theo quan hệ bao hàm) có thể được định nghĩa bằng cách ánh xạ mỗi số sang tập các ước nguyên tố của số đó. Nó bảo toàn thứ tự vì nếu $x$ là ước của $y,$ thì mỗi ước nguyên tố của $x$ cũng là ước nguyên tố của $y.$ Tuy nhiên, nó không phải đơn ánh (vì nó ánh xạ cả 12 và 6 sang $\{2,3\}$ ) và cũng không phản xạ thứ tự (vì 12 không phải là ước của của 6). Nếu thay vì đó, định nghĩa ánh xạ mỗi số sang tập các ước lũy thừa nguyên tố của nó qua $g:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )$ ánh xạ này bảo toàn thứ tự, phản xạ thứ tự và do đó là phép nhúng thứ tự. Song, nó không phải đẳng cấu thứ tự (Bởi vì , ví dụ chẳng hạn nó không ánh xạ số nào sang tập $\{4\}$ ), tuy nhiên nó có thể trở thành một bằng cách giới hạn miền giá trị thành $g(\mathbb {N} ).$ Hình 7b minh họa một tập hợp con của $\mathbb {N}$ và ảnh dưới phép đẳng cấu $g.$ Cách xây dựng đẳng cấu thứ tự vào tập lũy thừa này có thể tổng quát hóa cho một lớp rộng rãi các quan hệ thứ tự một phần, được gọi là dàn phân phối, xem "định lý biểu diễn Birkhoff".

Số các quan hệ thứ tự một phần trong tập hợp

Dãy A001035 trong OEIS cho số quan hệ thứ tự một phần trên tập hợp chứa n phần tử được dán nhãn:

Số các quan hệ từng loại của tập hợp có n phần tử
Số phần tử	Bất kì	Bắc cầu	Phản xạ	Đối xứng	Tiền thứ tự	Thứ tự bộ phận	Tiền thứ tự toàn phần	Thứ tự toàn phần	Quan hệ tương đương
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	1024	355	219	75	24	15
n	2^n²		2^n²−n	2^n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Trong đó $S (n, k)$ là số Stirling loại thứ hai.

Số quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt bằng với số quan hệ thứ tự một phần.

Nếu đếm xê xích đẳng cấu, thì ta thu được dãy 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, ... (dãy số A000112 trong bảng OEIS).

Mở rộng tuyến tính

Quan hệ thứ tự một phần $\leq ^{*}$ trên tập hợp $X$ được gọi là mở rộng của thứ tự một phần khác $\leq$ trên $X$ nếu với mọi phần tử $x,y\in X,$ nếu $x\leq y,$ thì cũng $x\leq ^{*}y.$ Mở rộng tuyến tính là mở rộng đồng thời là quan hệ tuyến tính (tức toàn phần). Ví dụ chẳng hạn, thứ tự từ điển của tập sắp thứ tự toàn phần là mở rộng tuyến tính của thứ tự tích của nó. Mọi thứ tự một phần đều có thể mở rộng thành quan hệ thứ tự toàn phần (theo nguyên lý mở rộng thứ tự).^[16]

Trong khoa học máy tính, các thuật toán tìm mở rộng tuyến tính của quan hệ thứ tự một phần (được biểu diễn bằng quan hệ chạm tới được của các đồ thị có hướng không chu trình) được gọi là sắp xếp tô pô.

Đồ thị có hướng không chu trình

Các quan hệ thứ một phần nghiêm ngặt có mối liên hệ chặt chẽ với các đồ thị có hướng không chu trình (hay còn gọi là DAG). Nếu một đồ thị được xây bằng cách lấy mỗi phần tử thuộc $P$ làm nútt và mỗi phần tử của $\leq$ làm cạnh, thì mọi thứ tự một nghiêm ngặt đều là DAG, và bao đóng bắc cầu của DAG vừa là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt cũng vừa là DAG. Ngược lại, bởi trong quan hệ không nghiêm ngặt, mỗi nút sẽ có cạnh vòng lại nên nó không thể là DAG.

Trong lý thuyết phạm trù

Mọi tập sắp thứ tự một phần (và mọi tập sắp tiền thứ tự) có thể được coi là phạm trù mà, cho vật $x$ và $y,$ có tối đa một cấu xạ từ $x$ đến $y.$ Cụ thể hơn, gọi hom(x, y) = {(x, y)} nếu x ≤ y (còn không thì là tập rỗng) và $(y,z)\circ (x,y)=(x,z).$ Các phạm trù như vậy đôi khi được gọi là posetal.

Các tập sắp thứ tự một phần tương đương với nhau khi và chỉ khi chúng đẳng cấu với nhau. Trong tập sắp thứ tự một phần, phần tử nhỏ nhất nếu tồn tại là vật khởi tạo, và phần tử lớn nhất lớn nhất nếu tồn tại thì là vật kết thúc. Bên cạnh đó, mọi tập sắp tiền thứ tự đều tương đương với một tập sắp tự một phần.

Quan hệ thứ tự một phần trong không gian tô pô

Nếu $P$ là tập hợp sắp thứ tự một phần và đồng thời có cấu trúc của không gian tô pô, thì theo lệ, ta có thể giả định rằng $\{(a,b):a\leq b\}$ đóng dưới không gian tích tô pô $P\times P.$ Dưới giả định này, các quan hệ thứ tự một phần vẫn hoạt động tại các giới hạn theo nghĩa sau: nếu $\lim _{i\to \infty }a_{i}=a,$ và $\lim _{i\to \infty }b_{i}=b,$ và với mọi $i,$ $a_{i}\leq b_{i},$ thì $a\leq b.$ ^[17]

Khoảng

Khoảng trong tập hợp sắp thứ tự một phần P là tập con $I$ của P cùng với tính chất sau: cho bất kỳ x và y thuộc $I$ và bất kỳ z thuộc P, nếu x ≤ z ≤ y, thì z cũng thuộc $I$ . (Định nghĩa này tổng quát hoá khái niệm khoảng thưởng gặp ở số thực.)

Khi a ≤ b, khoảng đóng [a, b] là tập các phần tử x thoả mãn a ≤ x ≤ b (tưc là, a ≤ x và x ≤ b). Nó chứa cả hai phần tử a và b.

Sử dụng quan hệ ngặt tương ứng "<", khoảng mở (a, b) là tập các phần tử thoả mãn x thoả mãn a < x < b (tức a < x và x < b). Khoảng mở có thể rỗng kể cả khi a < b. Ví dụ chẳng hạn, khoảng mở (0, 1) trên các số nguyên bị rỗng là bởi không có số nguyên $I$ sao cho $0 < I < 1$ .

Khoảng nửa mở (hay nửa đóng) [a, b) và (a, b] được định nghĩa tương tự như trên.

Đôi khi định nghĩa khoảng được mở rộng cho cả a > b, và khi đó thì khoảng đó là khoảng rỗng.

Khoảng $I$ được gọi là bị chặn nếu tồn tại các phần tử $a,b\in P$ sao cho $I \subseteq [a, b]$ . Dễ thấy mọi khoảng có thể biểu diễn bằng ký hiệu khoảng thì bị chặn, song ngược lại chưa chắc đã đúng. Ví dụ chẳng hạn, gọi $P = (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, 3)$ là tập con sắp thứ tự một phần của tập các số thực. Tập con (1, 2) là khoảng bị chặn, nhưng nó không có cận trên đúng hay cận dưới đúng thuộc P, nên nó không thể viết theo ký hiệu khoảng sử dụng các phần tử thuộc P.

Tập sắp thứ tư một phần được gọi là poset hữu hạn địa phương nếu mọi khoảng bị chặn của nó hữu hạn. Ví dụ, các số nguyên hữu hạn địa phương dưới thứ tự tự nhiên của chúng. Thứ tự từ điển trên tích Đề-các $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ không hữu hạn địa phương, bởi vì $(1, 2) \leq (1, 3) \leq (1, 4) \leq (1, 5) \leq ... \leq (2, 1)$ .

Sử dụng ký hiệu khoảng, tính chất "a phủ bởi b" có thể viết lại thành $[a,b]=\{a,b\}.$

Không nên nhầm lẫn khái niệm khoảng trong thứ tự một phần với lớp các thứ tự một phần đặc biệt được gọi là thứ tự khoảng.

Xem thêm

Antimatroid, hình thức hóa thứ tự trên tập hợp cho phép nhiều họ các thứ tự tổng quát hơn thứ tự một phần
Tập hệ quả, cách tiếp cận bằng tập sắp thứ tự một phần cho trọng lực lượng tử
Đồ thị so sánh
Thứ tự một phần đầy đủ
Tập hợp có hướng
Tập hợp phân bậc sắp thứ tự một phần
Đại số liên thuộc
Dàn
Tập hợp hữu hạn địa phương sắp thứ tự một phần
Hàm Möbius trên tập sắp thứ tự một phần
Họ các tập lồng nhau
Order polytope
Trường có thứ tự
Nhóm có thứ tự
Không gian vectơ có thứ tự
Tô pô tập sắp thứ tự một phần, một dạng không gian tô pô có thể được định nghĩa từ bất kỳ tập sắp thứ tự một phần
Tính liên tục Scott – tính liên tục của hàm số giữa hai thứ tự một phần
Nửa dàn
Nửa thứ tự
Thống trị ngẫu nhiên
Thứ tự yếu nghiêm ngặt – thứ tự một phần nghiêm ngặt "<" trong đó quan hệ"không a < b hay b < a" có tính bắc cầu.
Thứ tự toàn phần – Thứ tự mà mọi cặp đều so sánh được với nhau
Cây – Cấu trúc dữ liệu của quan hệ chứa trong tập hợp
Bổ đề Zorn – statement equivalent to the axiom of choice, about the existence of a maximal element in a poset with a maximal chain condition

Ghi chú

^ Một bài chứng minh có thể được tìm thấy ở đây.
^ Xem Thuyết tương đối rộng#Du hành thời gian.
^ Các quan hệ thứ tự một phần $\leq$ và ≼ có thể khác nhau, nhưng không nhất thiết phải.

Chú thích

^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 26
^ “Finite posets”. Sage 9.2.beta2 Reference Manual: Combinatorics. Truy cập ngày 5 tháng 1 năm 2022. compare_elements(x, y): Compare x and y in the poset. If x<y, return -1. If x=y, return 0. If x>y, return 1. If x and y are not comparable, return None.
^ Chen, Peter; Ding, Guoli; Seiden, Steve. “On Poset Merging” (PDF): 2. Truy cập ngày 5 tháng 1 năm 2022. A comparison between two elements s, t in S returns one of three distinct values, namely s≤t, s>t or s|t. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp)
^ Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. New York: John Wiley & Sons. tr. 28. ISBN 0-471-83817-9. Truy cập ngày 27 tháng 7 năm 2012. A partially ordered set is conveniently represented by a Hasse diagram...
^ ^a ^b ^c Wallis, W. D. (14 tháng 3 năm 2013). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (bằng tiếng Anh). Springer Science & Business Media. tr. 100. ISBN 978-1-4757-3826-1.
^ Simovici, Dan A. & Djeraba, Chabane (2008). “Partially Ordered Sets”. Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012.
^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). “Transitive Closures of Binary Relations I”. Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica. Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 48 (1): 55–69. Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".
^ Davey & Priestley (2002), tr. 14-15.
^ Avigad, Jeremy; Lewis, Robert Y.; van Doorn, Floris (29 tháng 3 năm 2021). “13.2. More on Orderings”. Logic and Proof . Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 4 năm 2023. Truy cập ngày 24 tháng 7 năm 2021. So we can think of every partial order as really being a pair, consisting of a weak partial order and an associated strict one.
^ Rounds, William C. (7 tháng 3 năm 2002). “Lectures slides” (PDF). EECS 203: DISCRETE MATHEMATICS. Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2021.
^ Kwong, Harris (25 tháng 4 năm 2018). “7.4: Partial and Total Ordering”. A Spiral Workbook for Discrete Mathematics (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2021.
^ Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), “4.2 Product Order and Lexicographic Order”, Basic Posets, World Scientific, tr. 62–63, ISBN 9789810235895
^ Davey & Priestley (2002), tr. 17–18.
^ P. R. Halmos (1974). Naive Set Theory. Springer. tr. 82. ISBN 978-1-4757-1645-0.
^ Davey & Priestley (2002), tr. 23–24.
^ Jech, Thomas (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.
^ Ward, L. E. Jr (1954). “Partially Ordered Topological Spaces”. Proceedings of the American Mathematical Society. 5 (1): 144–161. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5. hdl:10338.dmlcz/101379.

Tham khảo

Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (ấn bản thứ 2). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1.
Deshpande, Jayant V. (1968). “On Continuity of a Partial Order”. Proceedings of the American Mathematical Society. 19 (2): 383–386. doi:10.1090/S0002-9939-1968-0236071-7.
Schmidt, Gunther (2010). Relational Mathematics. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 132. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76268-7.
Bernd Schröder (11 tháng 5 năm 2016). Ordered Sets: An Introduction with Connections from Combinatorics to Topology. Birkhäuser. ISBN 978-3-319-29788-0.
Stanley, Richard P. (1997). Enumerative Combinatorics 1. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 49. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66351-2.

Liên kết ngoài

[12] Một bài chứng minh có thể được tìm thấy ở đây.

[13] Xem Thuyết tương đối rộng#Du hành thời gian.

[17] Các quan hệ thứ tự một phần $\leq$ và ≼ có thể khác nhau, nhưng không nhất thiết phải.

[1] Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 26

[2] “Finite posets”. Sage 9.2.beta2 Reference Manual: Combinatorics. Truy cập ngày 5 tháng 1 năm 2022. compare_elements(x, y): Compare x and y in the poset. If x<y, return -1. If x=y, return 0. If x>y, return 1. If x and y are not comparable, return None.

[3] Chen, Peter; Ding, Guoli; Seiden, Steve. “On Poset Merging” (PDF): 2. Truy cập ngày 5 tháng 1 năm 2022. A comparison between two elements s, t in S returns one of three distinct values, namely s≤t, s>t or s|t. Chú thích journal cần |journal= (trợ giúp)

[4] Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Topological Methods in Chemistry. New York: John Wiley & Sons. tr. 28. ISBN 0-471-83817-9. Truy cập ngày 27 tháng 7 năm 2012. A partially ordered set is conveniently represented by a Hasse diagram...

[Wallis-5] Wallis, W. D. (14 tháng 3 năm 2013). A Beginner's Guide to Discrete Mathematics (bằng tiếng Anh). Springer Science & Business Media. tr. 100. ISBN 978-1-4757-3826-1.

[6] Simovici, Dan A. & Djeraba, Chabane (2008). “Partially Ordered Sets”. Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012.

[Flaška_2007-7] Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). “Transitive Closures of Binary Relations I”. Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica. Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 48 (1): 55–69. Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".

[FOOTNOTEDaveyPriestley2002[httpswwwgooglecombookseditionIntroduction_to_Lattices_and_OrdervVVTxeuiyvQChlengbpv1pgPA14_14-15]-8] Davey & Priestley (2002), tr. 14-15.

[9] Avigad, Jeremy; Lewis, Robert Y.; van Doorn, Floris (29 tháng 3 năm 2021). “13.2. More on Orderings”. Logic and Proof . Bản gốc lưu trữ ngày 3 tháng 4 năm 2023. Truy cập ngày 24 tháng 7 năm 2021. So we can think of every partial order as really being a pair, consisting of a weak partial order and an associated strict one.

[10] Rounds, William C. (7 tháng 3 năm 2002). “Lectures slides” (PDF). EECS 203: DISCRETE MATHEMATICS. Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2021.

[11] Kwong, Harris (25 tháng 4 năm 2018). “7.4: Partial and Total Ordering”. A Spiral Workbook for Discrete Mathematics (bằng tiếng Anh). Truy cập ngày 23 tháng 7 năm 2021.

[14] Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), “4.2 Product Order and Lexicographic Order”, Basic Posets, World Scientific, tr. 62–63, ISBN 9789810235895

[FOOTNOTEDaveyPriestley2002[httpsbooksgooglecombooksidvVVTxeuiyvQCpgPA17_17–18]-15] Davey & Priestley (2002), tr. 17–18.

[16] P. R. Halmos (1974). Naive Set Theory. Springer. tr. 82. ISBN 978-1-4757-1645-0.

[FOOTNOTEDaveyPriestley200223–24-18] Davey & Priestley (2002), tr. 23–24.

[19] Jech, Thomas (2008) [1973]. The Axiom of Choice. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.

[ward-1954-20] Ward, L. E. Jr (1954). “Partially Ordered Topological Spaces”. Proceedings of the American Mathematical Society. 5 (1): 144–161. doi:10.1090/S0002-9939-1954-0063016-5. hdl:10338.dmlcz/101379.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[a]

[b]

[12]

[13]

[14]

[c]

[15]

[16]

[17]