Van khea

Bất đẳng thức 2011.1 Van Khea

Cho các số thực không âm $x_{1},x_{2},...,x_{n};n\in \mathbb {N^{*}}$ và $a_{1},a_{2},...,a_{n};n\in \mathbb {N^{*}}$ thoả mãn điều kiện $a_{1}-a_{2}-...-a_{n}=1;n\in \mathbb {N^{*}}$ Thì:

${\frac {x_{1}^{a_{1}}}{x_{2}^{a_{2}}x_{3}^{a_{3}}...x_{n}^{a_{n}}}}\geq a_{1}x_{1}-a_{2}x_{2}-a_{3}x_{3}-...-a_{n}x_{n}$

đẳng thức xảy ra khi $x_{1}=x_{2}=...=x_{n}$

Bất đẳng thức tương đương

Đặt $a_{i}={\frac {1}{p_{i}}}>0;(i=1,2,...,n)$ và đặt $x_{i}=t_{i}^{p_{i}}>0,(i=1,2,...,n)$ sau đó bất đẳng thức trên tương đương với:

${\frac {t_{1}}{t_{2}t_{3}...t_{n}}}\geq {\frac {t_{1}^{p_{1}}}{p_{1}}}-{\frac {t_{2}^{p_{2}}}{p_{2}}}-...-{\frac {t_{n}^{p_{n}}}{p_{n}}}$

Ví dụ ứng dụng

Ứng dụng để chưng mình bất đẳng thức AM-GM

Cho n số $x_{1},x_{2},...,x_{n}>0;n\in \mathbb {N} ^{*}$

và các hệ số $a_{1},a_{2},...,a_{n}>0\&a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1;n\in \mathbb {N} ^{*}.$

Thì ta được:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{n}+...+a_{n}x_{n}\geq x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}$

Giải

Ta có $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1\Leftrightarrow 2-a_{1}-a_{2}-...-a_{n}=1$

theo bất đẳng thức 2011 Van Khea ta được:

${\frac {(a_{1}x_{2}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n})^{2}}{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}}}\geq 2(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n})-a_{1}x_{1}-a_{2}x_{2}-...-a_{n}x_{n}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}$

$\Rightarrow a_{1}x_{1}+a_{2}x_{n}+...+a_{n}x_{n}\geq x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}...x_{n}^{a_{n}}$

Ứng dụng để chưng mình bất đẳng thức Holder

Cho các số thực không âm $x_{1},x_{2},...,x_{n}\&y_{1},y_{2},...,y_{n};n\in \mathbb {N} ^{*}.$ thì ta được:

$\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}{\biggl )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{q}{\biggl )}^{\frac {1}{q}}$

Trong đó $p,q>0\&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$

Giải

Ta có ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1\Leftrightarrow 2-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}=1$

Theo bất đẳng thức 2011 Van Khea ta được:

${\frac {t_{1}^{2}}{t_{2}t_{3}}}={\frac {t_{1}^{2}}{(t_{2}^{p})^{\frac {1}{p}}(t_{3}^{q})^{\frac {1}{q}}}}\geq 2t_{1}-{\frac {1}{p}}t_{2}^{p}-{\frac {1}{q}}t_{3}^{q}$

Đặt $t_{1}={\frac {x_{i}y_{i}}{\sum x_{i}y_{i}}};t_{2}={\frac {x_{i}}{(\sum x_{i}^{p})^{\frac {1}{p}}}};t_{3}={\frac {y_{i}}{(\sum y_{i}^{q})^{\frac {1}{q}}}}$

thay vào ta được

${\frac {(\sum x_{i}^{p})^{\frac {1}{p}}(\sum y_{i}^{q})^{\frac {1}{q}}}{(\sum x_{i}y_{i})^{2}}}.x_{i}y_{i}\geq {\frac {2x_{i}y_{i}}{\sum x_{i}y_{i}}}-{\frac {1}{p}}{\frac {x_{i}^{p}}{\sum x_{i}^{p}}}-{\frac {1}{q}}{\frac {y_{i}^{q}}{\sum y_{i}^{q}}}$

$\Rightarrow \sum {\frac {(\sum x_{i}^{p})^{\frac {1}{p}}(\sum y_{i}^{q})^{\frac {1}{q}}}{(\sum x_{i}y_{i})^{2}}}.x_{i}y_{i}\geq \sum {\frac {2x_{i}y_{i}}{\sum x_{i}y_{i}}}-{\frac {1}{p}}{\frac {x_{i}^{p}}{\sum x_{i}^{p}}}-{\frac {1}{q}}{\frac {y_{i}^{q}}{\sum y_{i}^{q}}}=1$

$\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}{\biggl )}^{\frac {1}{p}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{q}{\biggl )}^{\frac {1}{q}}$