Căn đơn vị

Trong toán học, căn đơn vị, đôi khi gọi là số de Moivre, là số phức bất kỳ khi lũy thừa mũ nguyên dương $n$ có kết quả bằng 1. Căn đơn vị được sử dụng trong nhiều nhánh của toán học, và đặc biệt quan trọng trong lý thuyết số, lý thuyết nhóm tính chất, và biến đổi Fourier rời rạc.

Trong lý thuyết trường và lý thuyết vành, khái niệm căn đơn vị cũng áp dụng cho bất kỳ vành nào có phần tử nhân được. Trường đóng đại số có chính xác $n$ căn đơn vị cấp $n$ nếu $n$ không chia hết cho đặc trưng của trường.

Định nghĩa

Căn đơn vị cấp $n$ , trong đó $n$ là một số nguyên dương (tức là $n = 1, 2, 3, \dots$ ), là một số $z$ thỏa phương trình sau:^[1]^[2]

z^{n}=1

Nếu không nói gì thêm, căn đơn vị là các số phức, (bao gồm số 1, và số -1 nếu n chẵn, là các số phức với phần ảo bằng 0), và trong trường hợp này, căn đơn vị cấp $n$ có dạng

e^{\frac {2k\pi i}{n}}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\quad \quad k=0,1,\dots ,n-1.

Một căn đơn vị cấp $n$ được gọi là nguyên thủy nếu nó không là một căn đơn vị cấp $k$ của các số $k$ nhỏ hơn $n$ :

z^{k}\neq 1\qquad (k=1,2,3,\dots ,n-1)

Nếu n là số nguyên tố, tất cả căn đơn vị cấp $n$ , ngoại trừ 1, đều nguyên thủy.

Ví dụ

Tìm các căn đơn vị cấp 3?

Theo định nghĩa, căn đơn vị cấp 3 là nghiệm của phương trình $z^{3}=1$ . Dễ thấy $z=1$ là một nghiệm của phương trình, vậy 1 là một căn đơn vị cấp 3.

Tuy nhiên, còn 2 nghiệm phức của phương trình là $z={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$ và $z={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$ .

Vậy tập các căn đơn vị cấp 3 là

U_{3}=\left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}

Xem thêm

Chú thích

^ Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. tr. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
^ Lang, Serge (2002). “Roots of unity”. Algebra. Springer. tr. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.

Tham khảo

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
Milne, James S. (1998). “Algebraic Number Theory”. Course Notes.
Milne, James S. (1997). “Class Field Theory”. Course Notes.
Bản mẫu:Neukirch ANT
Neukirch, Jürgen (1986). Class Field Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
Washington, Lawrence C. (1997). Cyclotomic fields (ấn bản thứ 2). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
Derbyshire, John (2006). “Roots of Unity”. Unknown Quantity. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. ISBN 0-309-09657-X.

Đọc thêm

Storer, Thomas (1967). Cyclotomy and difference sets. Chicago: Markham Publishing Company. Zbl 0157.03301.

[1] Hadlock, Charles R. (2000). Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14. Cambridge University Press. tr. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.

[2] Lang, Serge (2002). “Roots of unity”. Algebra. Springer. tr. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.

[1]

[2]