Logarit tự nhiên của 2

Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2 (dãy số A002162 trong bảng OEIS) xấp xỉ bằng

$\ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.$

Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức

$\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.$

Logarit cơ số 10 của 2 là ( A007524)

$\log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.$

Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10:

$\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095$ ( A020862).

Theo định lý Lindemann–Weierstrass, logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt.

Biểu diễn dạng chuỗi

Chuỗi giai thừa đảo dấu

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .$ Đây là "chuỗi điều hòa đổi dấu" quen thuộc.

$\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.$

$\ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.$

$\ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.$

$\ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.$

Chuỗi giai thừa nhị phân

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.$

$\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.$

$\ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.$

$\ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.$

$\ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.$

$\ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.$

Các biểu diễn dạng chuỗi khác

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2$ sử dụng $\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4k^{2}-3k}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}$

Liên quan đến hàm zeta Riemann

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.$

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.$

(γ là hằng số Euler–Mascheroni và ζ là hàm zeta Riemann.)

Biểu diễn dạng BBP

Xem thêm: Công thức Bailey–Borwein–Plouffe

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.$

Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.$

Áp dụng cho $\textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}$ ta được:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.$

Áp dụng cho $\textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}$ ta được:

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.$

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.$

Áp dụng cho $\textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}$ ta được:

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.$

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.$

Biểu diễn dạng tích phân

Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm:

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2$

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2$

$-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2$

Biểu diễn khác

Khai triển Pierce là  A091846

$\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .$

Khai triển Engel là  A059180

$\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .$

Khai triển cotang là  A081785

$\ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).$

Phân số liên tục đơn giản là  A016730

$\ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]$,

cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 và 61/88.

Phân số liên tục tổng quát:

$\ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]$,

cũng có thể viết dưới dạng

$\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}$

Tính những logarit khác

Sử dụng giá trị của ln 2, ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số c dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó

$c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \Rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots$

Bảng logarit của các số nguyên tố

Số nguyên tố	Logarit tự nhiên xấp xỉ	OEIS
2	0693147180559945309417232121458	A002162
3	109861228866810969139524523692	A002391
5	160943791243410037460075933323	A016628
7	194591014905531330510535274344	A016630
11	239789527279837054406194357797	A016634
13	256494935746153673605348744157	A016636
17	283321334405621608024953461787	A016640
19	294443897916644046000902743189	A016642
23	313549421592914969080675283181	A016646
29	336729582998647402718327203236	A016652
31	343398720448514624592916432454	A016654
37	361091791264422444436809567103	A016660
41	371357206670430780386676337304	A016664
43	376120011569356242347284251335	A016666
47	385014760171005858682095066977	A016670
53	397029191355212183414446913903	A016676
59	407753744390571945061605037372	A016682
61	411087386417331124875138910343	A016684
67	420469261939096605967007199636	A016690
71	426267987704131542132945453251	A016694
73	429045944114839112909210885744	A016696
79	436944785246702149417294554148	A016702
83	441884060779659792347547222329	A016706
89	448863636973213983831781554067	A016712
97	457471097850338282211672162170	A016720

Logarit của các số hữu tỉ r = a/b có thể tính bằng công thức ln(r) = ln(a) − ln(b), và logarit của căn bằng ln ⁿ√c = 1/n ln(c).

Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa 2ⁱ gần với lũy thừa b^j của số b nào khác là tương đối dễ dàng, và biểu diễn chuỗi của ln(b) có thể tính bằng Chuyển đổi logarit.

Tính toán chữ số

Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của ln 2. Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác, ngoại trừ 1.

Ngày	Tên	Số chữ số
7 tháng 1 năm 2009	A.Yee & R.Chan	15.500.000.000
4 tháng 2 năm 2009	A.Yee & R.Chan	31.026.000.000
21 tháng 2 năm 2011	Alexander Yee	50.000.000.050
14 tháng 5 năm 2011	Shigeru Kondo	100.000.000.000
28 tháng 2 năm 2014	Shigeru Kondo	200.000.000.050
12 tháng 7 năm 2015	Ron Watkins	250.000.000.000
30 tháng 1 năm 2016	Ron Watkins	350.000.000.000
18 tháng 4 năm 2016	Ron Watkins	500.000.000.000
10 tháng 12 năm 2018	Michael Kwok	600.000.000.000
26 tháng 4 năm 2019	Jacob Riffee	1.000.000.000.000
19 tháng 8 năm 2020	Seungmin Kim	1.200.000.000.100

Xem thêm

• Quy tắc 72
• Chu kỳ bán rã
• Phương trình Erdős–Moser

Tham khảo

• Brent, Richard P. (1976). “Fast multiple-precision evaluation of elementary functions”. J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314.
• Uhler, Horace S. (1940). “Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26 (3): 205–212. doi:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033. PMID 16588339.
• Sweeney, Dura W. (1963). “On the computation of Euler's constant”. Mathematics of Computation. 17 (82): 170–178. doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X. MR 0160308.
• Chamberland, Marc (2003). “Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes” (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. MR 2046407. Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 6 năm 2011. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2010.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). “Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas” (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237–246. MR 2346048.
• Wu, Qiang (2003). “On the linear independence measure of logarithms of rational numbers”. Mathematics of Computation. 72 (242): 901–911. doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Natural logarithm of 2" từ MathWorld.
• “table of natural logarithms”. PlanetMath.

• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. “The logarithm constant:log 2”.