Trong toán học, nửa nhómcấu trúc đại số bao gồm một tập hợp đi cùng với một phép toán hai ngôi có tính kết hợp.

Các cấu trúc đại số nằm giữa magmanhóm: nửa nhómmagma đi kèm theo tính kết hợp. monoidnửa nhóm kèm thêm phần tử đơn vị.

Phép toán hai ngôi của nửa nhóm thường được ký hiệu theo phép nhân: x·y, hoặc đơn giản là xy, ký hiệu cho kết quả của phép toán cho cặp được sắp (x, y). Tính kết hợp thường được viết như sau: (x·yz = x·(y·z) với mọi x, yz thuộc nửa nhóm.

Nửa nhóm được coi là một trường hợp đặc biệt của các magma, trong đó phép toán có tính kết hợp, hoặc là dạng tổng quát của các nhóm bởi không cần đến phần tử đơn vị hay phần tử nghịch đảo.[note 1] Giống như nhóm hoặc magma, phép toán trong nửa nhóm không cần phải có tính giao hoán, nên x·y không nhất thiết phải bằng với y·x; Một ví dụ nổi bật về phép toán có tính kết hợp nhưng không có tính giao hoán là phép nhân ma trận. Nếu phép toán có tính giao hoán, thì nửa nhóm đó được gọi là nửa nhóm giao hoán hoặc (tương tự cách gọi nhóm Abel nhưng ít khi gọi hơn) là nửa nhóm abel.

Monoid là cấu trúc đại số trung gian nằm giữa nửa nhóm và nhóm, là nửa nhóm đi kèm theo phần tử đơn vị, do đó thỏa mãn tất cả các tiên đề của nhóm ngoại trừ tiên đề phần tử nghịch đảo. Một ví dụ chẳng hạn như tập các xâu cùng với phép nối xâu làm phép toán hai ngôi và phần tử đơn vị là xâu rỗng. Nếu bỏ đi xâu rỗng thì tập các xâu này tạo thành một nửa nhóm không phải monoid. Tập các số nguyên dương cùng phép cộng tạo thành nửa nhóm giao hoán nhưng không phải monoid, trong khi tập các số nguyên không âm có tạo thành một monoid. Nửa nhóm có thể dễ dàng biến thành monoid bằng cách thêm phần tử đơn vị. Bởi vậy, các monoid thường được nghiên cứu trong lý thuyết nửa nhóm thay vì trong lý thuyết nhóm. Ta không nên nhầm lẫn giữa nửa nhóm với tựa nhóm, tựa nhóm là dạng tổng quát của nhóm theo hướng khác; phép toán trong tựa nhóm không cần tính giao hoán nhưng cần bảo toàn phép chia. Phép chia trong nửa nhóm (hoặc trong monoid) thường không khả thi.

Nghiên cứu các nửa nhóm chính thức bắt đầu từ ban đầu thế kỷ 20. Các kết quả ban đầu bao gồm định lý Cayley cho các nửa nhóm, trong đó các hàm tùy ý thay thế vị trí của các song ánh trong lý thuyết nhóm. Một kết quả sâu hơn nằm trong phân loại các nửa nhóm hữu hạn là lý thuyết Krohn–Rhodes, tương tự với phân tích Jordan–Hölder cho nhóm hữu hạn. Một số kỹ thuật để nghiên cứu nửa nhóm như các quan hệ của Green, không có trong lý thuyết nhóm.

Lý thuyết của các nửa nhóm hữu hạn có ứng dụng quan trọng trong khoa học máy tính lý thuyết kể từ những năm 1950 bởi liên hệ tự nhiên giữa các nửa nhóm hữu hạn và automata hữu hạn qua monoid cú pháp. Trong lý thuyết xác suất, nửa nhóm thường được xét trong các tiến trình Markov.[1] Trong các nhánh khác của toán học ứng dụng, nửa nhóm là mô hình cơ bản cho các hệ thống tuyến tính bất biến thời gian. Trong các phương trình vi phân riêng phần, Nửa nhóm thường được xét với các phương trình có tiến hóa không phụ thuộc vào thời gian.

Có nhiều lớp đặc biệt của nửa nhóm, là các nửa nhóm đi kèm thêm một số tính chất đặc biệt. Một số lớp còn biểu hiện gần hết các tính chất của nhóm. Trong đó bao gồm: nửa nhóm chính quy, nửa nhóm cùng phép chập, nửa nhóm khả nghịchnửa nhóm khử được.

Định nghĩa

sửa

Nửa nhóm là tập hợp   đi cùng phép toán hai ngôi " " (hay là hàm  ) thỏa mãn tính kết hợp:

Với mọi  , phương trình   được thỏa mãn.

Ngắn gọn hơn, nửa nhóm là magma có tính kết hợp.

Các ví dụ của nửa nhóm

sửa

Các khái niệm cơ bản

sửa

Phần tử đơn vị và phần tử không

sửa

Phần tử đơn vị trái của nửa nhóm   (hoặc tổng quát hơn là của magma) là phần tử   sao cho với mọi   thuộc  ,  . Tương tự như vậy, phần tử đơn vị phải là phần tử   sao cho với mọi phần tử   thuộc  ,  . Phần tử đơn vị trái và phải đều được gọi là phần tử đơn vị một phía. Một nửa nhóm có thể có một hoặc nhiều hơn số phần tử đơn vị trái nhưng không có phần tử đơn vị phải nào và ngược lại.

Phần tử đơn vị hai phía (hay gọi ngắn đi là phần tử đơn vị) là phần tử đồng thời vừa là đơn vị trái, vừa là đơn vị phải. Nửa nhóm có phần tử đơn vị hai phía được gọi là monoid. Một nửa nhóm chỉ có tối đa một phần tử đơn vị hai phía. Nếu nửa nhóm có một phần tử đơn vị hai phía, thì phần tử đơn vị hai phía đó là phần tử đơn vị một phía duy nhất trong nửa nhóm. Nếu một nửa nhóm có cả hai đơn vị trái và đơn vị phải, thì nó có một phần tử đơn vị hai phía (là phần tử đơn vị duy nhất).

Nửa nhóm   không có phần tử đơn vị có thể được nhúng trong monoid được tạo bằng cách hợp phần tử   với   và định nghĩa   for all  .[2][3] Ký hiệu   ký hiệu cho monoid được tạo từ   bằng cách thêm phần tử đơn vị nếu cần thiết (  cho monoid).[3]

Tương tự như vậy, mỗi magma có tối đa một phần tử hút, mà trong lý thuyết nửa nhóm ta gọi nó là phần tử không. Tương tự với cách xây trên, với mọi nửa nhóm  , ta có thể định nghĩa   là nửa nhóm cùng với 0 nhúng lên  .

Nửa nhóm con và ideal

sửa

Từ nửa nhóm quy nạp ra được phép toán trên họ các tập con của nửa nhóm: Cho các tập con AB của nửa nhóm S, tích của chúng A · B, thường viết là AB, là tập hợp { ab | a thuộc Ab thuộc B }. (Thuật ngữ này tương đương với nhóm.) Dùng phép toán này, tập con A được gọi là

  • nửa nhóm con nếu AA là tập con của A,
  • ideal phải nếu AS là tập con của A, và
  • ideal trái nếu SA là tập con của A.

Nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải thì nó được gọi là ideal (hoặc ideal hai phía).

Nếu S là nửa nhóm, thì giao của bất cứ họ các nửa nhóm con của S cũng là nửa nhóm con của S. Do đó tập các nửa nhóm con của S tạo thành một dàn đầy đủ.

Một ví dụ của nửa nhóm không có ideal tối tiểu là tập các số nguyên dương dưới phép cộng. Ideal tối tiểu của nửa nhóm giao hoán, nếu nó tồn tại thì nó là nhóm.

Quan hệ Green là tập năm quan hệ tương đương mô tả các phần tử bằng các ideal chính chúng sinh ra, là kỹ thuật quan trọng để phân tích các ideal của nửa nhóm và cấu trúc có quan hệ.

Tập con có tính chất mọi phần tử thuộc tập đó giao hoán với các phần tử còn lại trong nửa nhóm được gọi là tâm của nửa nhóm.[4] Tâm của nửa nhóm là nửa nhóm con.[5]

Đồng cấu và tương đẳng

sửa

Đồng cấu nửa nhóm là hàm bảo toàn cấu trúc của nửa nhóm. Hàm f: ST giữa hai nửa nhóm là đồng cấu nếu phương trình

f(ab) = f(a)f(b).

thỏa mãn với mọi a, b thuộc S, tức kết quả là như nhau khi áp dụng phép toán trước hay sau khi tính hàm f.

Đồng cấu nửa nhóm giữa các monoid bảo toàn phần tử đơn vị nếu nó là đồng cấu monoid. Bởi có các đồng cấu nửa nhóm nhưng không phải đồng cấu monoid. Ví dụ chẳng hạn như phép nhúng chính tắc của nửa nhóm   không phần tử đơn vị vào  . Gọi   là đồng cấu nửa nhóm. Ảnh của   cũng là nửa nhóm. Nếu   là monoid cùng phần tử đơn vị  , thì   là phần tử đơn vị trong ảnh của  . Nếu   là monoid cùng phần tử đơn vị    thuộc ảnh của  , thì  , tức là   là đồng cấu monoid. Cụ thể hơn, nếu  toàn ánh, thì nó là đồng cấu monoid.

Hai nửa nhóm ST được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại đồng cấu nửa nhóm có tính song ánh f : ST. Nửa nhóm đẳng cấu với nhau có cấu trúc như nhau.

Tương đẳng nửa nhóm  quan hệ tương đương tương thích với phép toán hai ngôi của nửa nhóm. Nghĩa là, một tập con của   là quan hệ tương đương và    suy ra   với mọi   thuộc S. Giống bất kỳ quan hệ tương đương, tương đẳng nửa nhóm   cảm sinh các lớp tương đẳng

 

và phép toán của nửa nhóm cảm sinh phép toán hai ngôi   trên tập các lớp tương đẳng:

 

Bởi   là tương đẳng, tập các lớp tương đương dưới phép   tạo thành nửa nhóm với phép toán  , được gọi là nửa nhóm thương hau nửa nhóm nhân tử, và được ký hiệu là  . Ánh xạ   là đồng cấu nửa nhóm, hay được gọi là ánh xạ thương, toàn xạ chính tắc hoặc phép chiếu chính tắc; nếu S là monoid thì nửa nhóm thương là monoid cùng với phần tử đơn vị  . Ngược lại, nhân của bất cứ đồng cấu nửa nhóm là tương đẳng nửa nhóm. Lớp tương đẳng và monoid nhân tử là các đối tượng được nghiên cứu trong các hệ thống viết lại xâu.

Xem thêm

sửa

Chú thích

sửa
  1. ^ Tiên đề đóng suy ra bằng định nghĩa của phép toán hai ngôi trên tập hợp. Do đó các tác giả thường không nhắc đến nó, mà chỉ lấy 3 tiên đề cho nhóm và một tiên đề (tính kết hợp) cho nửa nhóm.

Tham khảo

sửa
  1. ^ Feller (1971)
  2. ^ Jacobson (2009, tr. 30, ex. 5)
  3. ^ a b Lawson (1998, p. 20)
  4. ^ Kilp, Mati; Knauer, U.; Mikhalev, Aleksandr V. (2000). Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers. Walter de Gruyter. tr. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036.
  5. ^ Li͡apin, E. S. (1968). Semigroups. American Mathematical Soc. tr. 96. ISBN 978-0-8218-8641-0.

Tham khảo khác

sửa

Tham khảo chung

sửa

Tham khảo riêng

sửa