Hàm số bậc ba

Trong đại số, một hàm số bậc ba là một hàm số có dạng

f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

trong đó a khác 0.

Phương trình $f (x) = 0$ là một phương trình bậc ba có dạng

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,

Các giá trị x thỏa mãn phương trình này được gọi là các nghiệm số của đa thức $f (x)$ . Nếu tất cả các hệ số a, b, c, và d của phương trình bậc ba là số thực thì sẽ có ít nhất một nghiệm thực (điều này đúng đối với tất cả các đa thức bậc lẻ). Tất cả các nghiệm của phương trình bậc ba có thể được biểu diễn bằng các hàm đại số. (Điều này cũng đúng với phương trình hàm bậc hai hoặc bậc bốn (nhưng không đúng với các hàm bậc cao hơn, xem định lý Abel–Ruffini). Các nghiệm cũng có thể được xác định bằng lượng giác. Một cách khác, có thể dùng phương pháp xấp xỉ để tính toán các nghiệm số bằng cách sử dụng các thuật toán tìm nghiệm số như phương pháp Newton.

Các hệ số không cần phải là số phức. Phần lớn những gì được trình bày dưới đây có giá trị đối với các hệ số của bất kỳ trường nào với đặc tính là $0$ hoặc lớn hơn $3$ . Các nghiệm của phương trình bậc ba không nhất thiết thuộc cùng một trường số với các hệ số. Ví dụ, một số phương trình bậc ba với các hệ số hữu tỷ có nghiệm số không phải là số hữu tỷ (và thậm chí là số phức).

Lịch sử

Đồ thị hai chiều của một hàm bậc 3, đa thức ƒ(x) = 2x³ − 3x² − 3x + 2.

Phương trình bậc ba đã được người Babylon, Hy Lạp, Trung Quốc, Ấn Độ và Ai Cập cổ đại quan tâm từ lâu.^[1]^[2]^[3] Người Babylon (thế kỷ 20 đến 16 TCN) đã lưu lại các bản viết chữ hình nêm với các bảng để tính các số lập phương và khai căn bậc 3^[4]^[5]. Người Babylon có thể đã sử dụng các bảng để giải phương trình bậc 3, nhưng không có bằng chứng nào để khẳng định rằng họ đã làm như vậy.^[6] Bài toán tăng gấp đôi thể tích khối lập phương liên quan đến phương trình bậc ba đơn giản nhất và được nghiên cứu lâu đời nhất, và là một trong các phương trình mà người Ai Cập cổ đại không tin rằng có cách giải.^[7] Vào thế kỷ thứ 5TCN, Hippocrates đã rút gọn được vấn đề này khi tìm ra hai phần tỷ lệ giữa một đoạn thẳng và một đoạn khác gấp đôi chiều dài của nó, nhưng không thể giải quyết vấn đề này bằng compa và thước kẻ^[8], một bài toán mà bây giờ được chứng minh là không thể. Các phương pháp giải phương trình bậc ba xuất hiện trong Cửu chương toán thuật, một tác phẩm tiếng Trung Quốc về toán học được viết vào khoảng thế kỷ 2 TCN và được Lưu Huy viết thêm lời bình vào thế kỷ 3.^[2] Vào thế kỷ thứ 3, nhà toán học Hy Lạp Diophantos ftìm ra các giải pháp số nguyên hoặc số hữu tỷ cho một số phương trình bậc 3 hai ẩn số (phương trình Diophantos).^[3]^[9] Hippocrates, Menaechmus và Archimedes được cho là đã đến gần với lời giải cho bài toán tăng gấp đôi thể tích khối lập phương bằng cách tính toán điểm cắt nhau của các đường conic^[8], mặc dù các nhà sử học như Reviel Netz tranh cãi liệu người Hy Lạp có đang suy nghĩ về các phương trình bậc ba hay chỉ là những vấn đề có thể dẫn đến phương trình bậc ba. Một số khác như T. L. Heath, người đã dịch tất cả các tác phẩm của Archimedes, không đồng ý, đưa ra bằng chứng rằng Archimedes thực sự giải phương trình bậc 3 bằng cách sử dụng giao điểm của hai đường conic, mà còn thảo luận các điều kiện mà các nghiệm là 0, 1 hoặc 2.^[10]

Ở triều Đường thế kỷ thứ 7, nhà thiên văn và toán học Vương Hiểu Thông trong cuốn sách của ông nhan đề "Tập cổ toán kinh" đã nêu ra một cách có hệ thống và giải bằng số 25 phương trình bậc ba dạng $x 3 + px 2 + qx = N$ , 23 trong số chúng có $p, q \neq 0$ , và 2 trong số chúng với $q = 0$ .^[11]

Trong thế kỷ thứ 11, nhà toán học và thi sĩ Ba Tư Omar Khayyam (1048–1131) đã đóng góp quan trọng vào tiến trình phát triển của lý thuyết phương trình bậc ba. Trong một bài báo ban đầu, ông khám phá ra một phương trình bậc ba có thể có nhiều hơn một nghiệm và chứng minh rằng nó không thể giải được bằng cách sử dụng thước kẻ và compa. Ông cũng tìm thấy một nghiệm hình học.^[12]^[13] Trong tác phẩm sau của ông, cuốn Tiểu luận về chứng minh các bài toán đại số, ông viết ra nội dung phân loại đầy đủ các phương trình bậc ba với nghiệm hình học tổng quát tìm bởi giao điểm với các đường conic.^[14]^[15]

Nhà toán học Ấn Độ ở thế kỷ 12 Bhaskara II đã cố gắng tìm ra nghiệm tổng quát cho phương trình bậc ba nhưng không thành công. Tuy vậy, ông đã tìm ra một phương trình bậc ba: $x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35$ .^[16] Cũng ở thế kỷ 12, nhà toán học Ba Tư Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135–1213), viết cuốn Al-Muʿādalāt (Khảo luận về các phương trình), trong đó ông nghiên cứu tám loại phương trình bậc ba với nghiệm dương và năm loại phương trình bậc ba mà có thể không có nghiệm dương. Ông đã sử dụng quy tắc mà về sau được gọi là "phương pháp Horner-Ruffini" để giải xấp xỉ bằng phương pháp số nhằm tìm nghiệm của một phương trình bậc ba. Ông cũng sử dụng khái niệm cực trị của các đường cong để giải phương trình bậc ba mà không có nghiệm dương.^[17] Ông đã hiểu tầm quan trọng của biệt thức phương trình bậc ba để tìm nghiệm đại số của một số loại phương trình bậc ba nhất định.^[18]

Leonardo de Pisa, mà được biết đến nhiều hơn với tên Fibonacci (1170–1250), đã có thể giải xấp xỉ gần đúng nghiệm dương của phương trình $x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20$ , bằng sử dụng chữ số Babylon. Ông đưa ra kết quả bằng 1,22,7,42,33,4,40 (tương đương với 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶),^[19] mà lệch với giá trị đúng chỉ khoảng 3 phần tỷ.

Đầu thế kỷ 16, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465–1526) tìm ra phương pháp giải một lớp các phương trình bậc ba có dạng $x 3 + mx = n$ . Thực sự là mọi phương trình bậc ba có thể quy về dạng này nếu chúng ta cho phép $m$ và $n$ nhận giá trị âm, nhưng số âm vẫn chưa được biết đến vào thời của ông. Del Ferro đã giữ bí mật thành tựu của ông cho tới lúc trước khi ông qua đời, ông đã nói cho học trò Antonio Fiore của mình về điều này.

Niccolò Fontana Tartaglia

Năm 1530, Niccolò Tartaglia (1500–1557) nhận được hai bài toán trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và tuyên bố ông đã giải được chúng. Ngay lập tức Fiore đã thách thức ông, dẫn đến một cuộc thi nổi tiếng giữa hai người này. Mỗi thí sinh phải đặt cược một số tiền và đặt ra một số bài toán để cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong vòng 30 ngày sẽ là người chiến thắng và giành được tất cả số tiền đặt cược. Tartaglia nhận được các bài toán có phương trình dưới dạng $x 3 + mx = n$ , mà ông đã tìm ra phương pháp tổng quát để giải. Fiore nhận được các phương trình có dạng $x 3 + mx 2 = n$ , mà đối với ông đây thực sự là rất khó, và Tartaglia là người chiến thắng cuộc thi.^[20]

Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501–1576) khuyên nhủ nên tiết lộ bí mật của ông về cách giải phương trình bậc ba. Năm 1539, Tartaglia chỉ thực hiện trong điều kiện nếu Cardano hứa sẽ không bao giờ công bố nó và rằng nếu ông viết một cuốn sách về hàm số bậc ba, ông sẽ cho Tartaglia thời gian để công bố. Vài năm sau, Cardano biết đến công trình trước đây của Ferro và đã công bố phương pháp của Ferro trong cuốn sách Ars Magna của ông vào năm 1545, có nghĩa là Cardano đã cho Tartaglia 6 năm để công bố kết quả của ông (với quyền tác giả thuộc về Tartaglia về một nghiệm độc lập). Lời hứa của Cardano với Tartaglia nói rằng ông sẽ không công bố các công trình của Tartaglia, và Cardano cảm thấy là ông đang xuất bản công trình của del Ferro, và do đó đã giữ được lời hứa của ông. Tuy vậy, điều này đã dẫn đến Tartaglia thách thức Cardano tham dự một cuộc thi mà Cardano đã từ chối. Cuộc thi này cuối cùng do học trò của Cardano là Lodovico Ferrari (1522–1565) chấp thuận. Ferrari đã có kết quả tốt hơn Tartaglia trong cuộc thi, và Tartaglia đã mất danh dự và tiền bạc của ông.^[21]

Cardano nhận thấy phương pháp của Tartaglia thỉnh thoảng đòi hỏi ông phải tiến hành khai căn bậc hai của một số âm. Ông thậm chí đã thực hiện tính với các số phức này trong quyển Ars Magna, nhưng ông đã không thực sự hiểu ý nghĩa của nó. Rafael Bombelli đã nghiên cứu vấn đề này một cách chi tiết^[22] và do vậy thường được coi là người khám phá ra số phức.

François Viète (1540–1603) đã độc lập tìm ra nghiệm lượng giác cho đa thức bậc ba có ba nghiệm thực, và René Descartes (1596–1650) đã mở rộng công trình của Viète.^[23]

Khảo sát hàm số bậc ba

Chiều biến thiên và cực trị

Xét hàm số $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ . Gọi $y'=f'(x)=3ax^{2}+2bx+c=Ax^{2}+Bx+C$ là đạo hàm cấp 1 của f(x). Xét $\Delta =B^{2}-4AC$

Nếu $\Delta >0$ , f(x) có 2 điểm cực trị. Gọi $x_{1}$ và $x_{2}$ (với $x_{1}<x_{2}$ ) là 2 nghiệm của f'(x). Khi đó:

nếu a>0, hàm số nghịch biến trên khoảng $(x_{1};x_{2})$ và đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;x_{1})$ và $(x_{2};+\infty )$ ; điểm $A_{1}(x_{1},f(x_{1}))$ là điểm cực đại và $A_{2}(x_{2},f(x_{2}))$ là điểm cực tiểu.

$x$	$-\infty$ $x_{1}$ $x_{2}$ $+\infty$
$y'$	$+$ 0 $-$ 0 $+$
$y$	$-\infty \nearrow f(x_{1})\searrow f(x_{2})\nearrow +\infty$

nếu a<0, hàm số đồng biến trên khoảng $(x_{1};x_{2})$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;x_{1})$ và $(x_{2};+\infty )$ ; điểm $A_{1}(x_{1},f(x_{1}))$ là điểm cực tiểu và $A_{2}(x_{2},f(x_{2}))$ là điểm cực đại.

$x$	$-\infty$ $x_{1}$ $x_{2}$ $+\infty$
$y'$	$-$ 0 $+$ 0 $-$
$y$	$+\infty \searrow f(x_{1})\nearrow f(x_{2})\searrow -\infty$

Nếu $\Delta \leq 0$ , f(x) không có điểm cực trị, đồng biến trên R nếu a>0 và nghịch biến trên R nếu a<0.

Ta có bảng sau:

a>0

a<0

\Delta =0

$x$	$-\infty$ $x_{0}$ $+\infty$
$y'$	+ 0 +
$y$	$-\infty \nearrow +\infty$

$x$	$-\infty$ $x_{0}$ $+\infty$
$y'$	- 0 -
$y$	$+\infty \searrow -\infty$

\Delta <0

$x$	$-\infty$ $+\infty$
$y'$	+
$y$	$-\infty \nearrow +\infty$

$x$	$-\infty$ $+\infty$
$y'$	-
$y$	$+\infty \searrow -\infty$

Cách làm trên vẫn đúng khi sử dụng $\Delta '=b^{2}-3ac$ thay cho $\Delta =B^{2}-4AC$

Đồ thị

Đồ thị hàm số

y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

Đồ thị hàm số $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có các tính chất sau:

Có tâm đối xứng là điểm $I(x_{0},f(x_{0}))$ với $x_{0}$ là nghiệm của f''(x). I còn được gọi là điểm uốn của đồ thị.
Có hình dạng phụ thuộc vào nghiệm của f'(x) và hệ số a.

Sách tham khảo

Guilbeau, Lucye (1930), “The History of the Solution of the Cubic Equation”, Mathematics News Letter, 5 (4): 8–12, doi:10.2307/3027812, JSTOR 3027812
Sách giáo khoa Giải tích 12 - Bộ giáo dục đào tạo - Nhà xuất bản giáo dục

Tham khảo

^ Høyrup, Jens (1992), “The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis”, Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday, Birkhäuser, tr. 315–358, doi:10.1007/978-3-0348-8599-7_16, ISBN 978-3-0348-8599-7
^ ^a ^b Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. tr. 176. ISBN 978-0-19-853936-0.
^ ^a ^b Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
^ Cooke, Roger (ngày 8 tháng 11 năm 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. tr. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. tr. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
^ Cooke, Roger (2008). Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses. John Wiley & Sons. tr. 64. ISBN 978-0-470-27797-3.
^ Guilbeau (1930, tr. 8) states that "the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."
^ ^a ^b Guilbeau (1930, tr. 8–9)
^ Heath, Thomas L. (ngày 30 tháng 4 năm 2009). Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Martino Pub. tr. 87–91. ISBN 978-1578987542.
^ Archimedes (ngày 8 tháng 10 năm 2007). The works of Archimedes. Translation by T. L. Heath. Rough Draft Printing. ISBN 978-1603860512.
^ Mikami, Yoshio (1974) [1913], “Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations”, The Development of Mathematics in China and Japan (ấn bản thứ 2), New York: Chelsea Publishing Co., tr. 53–56, ISBN 978-0-8284-0149-4
^ A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337
^ In O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Omar Khayyam”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews one may read This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation $x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000$ and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables. The then in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by also. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting trigonometric tables. Textually: If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory. This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).
^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."
^ Guilbeau (1930, tr. 9) states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."
^ Datta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (2004), “Equation of Higher Degree”, History of Hindu Mathematics: A Source Book, 2, Delhi, India: Bharattya Kala Prakashan, tr. 76, ISBN 81-86050-86-8
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews
^ Berggren, J. L. (1990), “Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt”, Journal of the American Oriental Society, 110 (2): 304–309, doi:10.2307/604533, JSTOR 604533
^ R. N. Knott and the Plus Team (ngày 4 tháng 11 năm 2013), “The life and numbers of Fibonacci”, Plus MagazineQuản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (liên kết)
^ Tony Rothman, Cardano v Tartaglia: The Great Feud Goes Supernatural.
^ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics. Boston: Addison Wesley. tr. 220. ISBN 9780321016188.
^ Lỗi chú thích: Thẻ <ref> sai; không có nội dung trong thẻ ref có tên Bombelli
^ Lỗi chú thích: Thẻ <ref> sai; không có nội dung trong thẻ ref có tên Nickalls

Đọc thêm

Anglin, W. S.; Lambek, Joachim (1995), “Mathematics in the Renaissance”, The Heritage of Thales, Springers, tr. 125–131, ISBN 978-0-387-94544-6 Ch. 24.
Dence, T. (tháng 11 năm 1997), “Cubics, chaos and Newton's method”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 81: 403–408, doi:10.2307/3619617, ISSN 0025-5572
Dunnett, R. (tháng 11 năm 1994), “Newton–Raphson and the cubic”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 78: 347–348, doi:10.2307/3620218, ISSN 0025-5572
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (ấn bản thứ 2), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
Mitchell, D. W. (tháng 11 năm 2007), “Solving cubics by solving triangles”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 91: 514–516, ISSN 0025-5572
Mitchell, D. W. (tháng 11 năm 2009), “Powers of φ as roots of cubics”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 93: ???, ISSN 0025-5572
Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), “Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations”, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ấn bản thứ 3), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
Rechtschaffen, Edgar (tháng 7 năm 2008), “Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 268–276, ISSN 0025-5572
Zucker, I. J. (tháng 7 năm 2008), “The cubic equation – a new look at the irreducible case”, Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 264–268, ISSN 0025-5572

Liên kết ngoài

Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Cardano formula”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.

[1] Høyrup, Jens (1992), “The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis”, Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday, Birkhäuser, tr. 315–358, doi:10.1007/978-3-0348-8599-7_16, ISBN 978-3-0348-8599-7

[oxf-2] Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. tr. 176. ISBN 978-0-19-853936-0.

[wae-3] Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5

[4] Cooke, Roger (ngày 8 tháng 11 năm 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. tr. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-5] Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. tr. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.

[co-6] Cooke, Roger (2008). Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses. John Wiley & Sons. tr. 64. ISBN 978-0-470-27797-3.

[7] Guilbeau (1930, tr. 8) states that "the Egyptians considered the solution impossible, but the Greeks came nearer to a solution."

[Guilbeau-8] Guilbeau (1930, tr. 8–9)

[9] Heath, Thomas L. (ngày 30 tháng 4 năm 2009). Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Martino Pub. tr. 87–91. ISBN 978-1578987542.

[10] Archimedes (ngày 8 tháng 10 năm 2007). The works of Archimedes. Translation by T. L. Heath. Rough Draft Printing. ISBN 978-1603860512.

[11] Mikami, Yoshio (1974) [1913], “Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations”, The Development of Mathematics in China and Japan (ấn bản thứ 2), New York: Chelsea Publishing Co., tr. 53–56, ISBN 978-0-8284-0149-4

[12] A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337

[13] In O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Omar Khayyam”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews one may read This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation $x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000$ and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables. The then in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by also. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting trigonometric tables. Textually: If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory. This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).

[14] J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."

[15] Guilbeau (1930, tr. 9) states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."

[16] Datta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (2004), “Equation of Higher Degree”, History of Hindu Mathematics: A Source Book, 2, Delhi, India: Bharattya Kala Prakashan, tr. 76, ISBN 81-86050-86-8

[17] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews

[18] Berggren, J. L. (1990), “Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt”, Journal of the American Oriental Society, 110 (2): 304–309, doi:10.2307/604533, JSTOR 604533

[19] R. N. Knott and the Plus Team (ngày 4 tháng 11 năm 2013), “The life and numbers of Fibonacci”, Plus MagazineQuản lý CS1: sử dụng tham số tác giả (liên kết)

[20] Tony Rothman, Cardano v Tartaglia: The Great Feud Goes Supernatural.

[21] Katz, Victor (2004). A History of Mathematics. Boston: Addison Wesley. tr. 220. ISBN 9780321016188.

[Bombelli-22] Lỗi chú thích: Thẻ <ref> sai; không có nội dung trong thẻ ref có tên Bombelli

[Nickalls-23] Lỗi chú thích: Thẻ <ref> sai; không có nội dung trong thẻ ref có tên Nickalls

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]