Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa độ.

Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cực trị hàm một biến

sửa

Định nghĩa

sửa

Cho hàm số   xác định trên  .

  •  điểm cực đại của hàm số   nếu tồn tại   chứa   sao cho  . Khi đó   được gọi là giá trị cực đại của hàm số  
  •  điểm cực tiểu của hàm số   nếu tồn tại   chứa   sao cho  . Khi đó   được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  
  • Cực trị của hàm số bao gồm các điểm cực đại và các điểm cực tiểu của hàm số đó

Tính chất 1

sửa

Cho hàm số   xác định trên  .

  •   chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm   sao cho   hoặc không tồn tại   nhưng   liên tục tại  .
  • Nếu   đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua   theo chiều tăng dần thì hàm số đạt cực tiểu tại  
  • Nếu   đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua   theo chiều tăng dần thì hàm số đạt cực đại tại  

Tính chất 2

sửa

Cho hàm số   và các giá trị   sao cho  .

  • Nếu   thì hàm số đạt cực tiểu tại  
  • Nếu   thì hàm số đạt cực đại tại  
  • Nếu   thì không thể kết luận được gì

Cực trị hàm nhiều biến

sửa

Điều kiện cần để hàm z= f(x1, x2,..., xn) có cực trị là dz = f1 dx1 + f2 dx2 +... + fn dxn = 0[1].

dz = 0 khi và chỉ khi f1 dx1 = f2 dx2 =... = fn dxn = 0

d2z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

 

Từ ma trận H có các ma trận con  ,  ,...,  .

Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H1) < 0, det(H2) > 0, det(H3) < 0,..., (-1)n det(Hn) > 0[1]

Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H1), det(H2), det(H3),..., det(Hn) > 0[1]

Tham khảo

sửa
  1. ^ a b c Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336