Đại số (định hướng)

Cụm từ "đại số" được sử dụng trong một số phân nhánh và cấu trúc của toán học. Đối với thông tin tổng quan, xem Đại số.

Từ "đại số" đứng riêng

Từ "đại số" đứng riêng có thể chỉ:

• Đại số sơ cấp
• Đại số trừu tượng
• Đại số trên một trường

Trong đại số phổ dụng, đại số mang định nghĩa tiên đề, đại ý là thực thể một trong các cấu trúc đại số như nhóm, vành, v.v.

Phân nhánh toán học

• Đại số sơ cấp, tức "đại số trung học"
• Đại số trừu tượng
• Đại số tuyến tính
• Đại số quan hệ
• Đại số phổ dụng

Thuật ngữ này cũng được dùng thông dụng trong lĩnh vực:

• Đại số máy tính, liên quan đến hệ thống phần mềm tính toán ký hiệu, thường cung cấp tính năng vượt ra ngoài những gì thường được hiểu là "đại số"

Cấu trúc toán học

Không gian vectơ với phép nhân

"Đại số", cụ thể hơn là đại số trên một trường, là không gian vectơ được trang bị một tích vectơ song tuyến tính. Một số đại số tiêu biểu theo nghĩa này gồm:

• Trong lý thuyết vành và đại số tuyến tính:
  • Đại số trên một vành giao hoán, mô đun được trang bị một tích song tuyến tính. Khái quát hóa của đại số trên một trường
  • Đại số kết hợp, mô đun được trang bị một tích vectơ song tuyến tính kết hợp
  • Siêu đại số, đại số phân bậc $\mathbb {Z} _{2}$
  • Đại số Lie, đại số Poisson và đại số Jordan, ví dụ quan trọng về đại số (có khả năng) phi giao hoán
• Trong giải tích hàm:
  • Đại số Banach, một đại số giao hoán A trên tập số thực hoặc phức đồng thời là không gian Banach
  • Đại số toán tử, toán tử tuyến tính liên tục trên một không gian vectơ tô pô với phép nhân cho bởi hàm hợp
  • *-đại số, đại số có khái niệm phụ hợp
    • C*-đại số, đại số Banach trang bị một phép toán đối hợp một ngôi
    • Đại số von Neumann (hay W*-đại số)

Xem thêm đối đại số, khái niệm đối ngẫu.

Cấu trúc khác

Một lớp "đại số" khác chứa các đối tượng tổng quát hóa toán tử logic, tập hợp và dàn.

• Trong logic:
  • Đại số quan hệ, gồm một tập hợp quan hệ hữu hạn có tính đóng dưới một số toán tử nhất định
  • Đại số Boole và Đại số Boole (cấu trúc)
  • Đại số Heyting
• Trong lý thuyết độ đo:
  • Đại số trên một tập hợp, một bộ các tập hợp có tính đóng dưới phép hợp hữu hạn và phép bù
  • Đại số sigma, một bộ các tập hợp có tính đóng dưới phép hợp đếm được và phép bù

"Đại số" cũng có thể mô tả các cấu trúc tổng quát hơn:

• Trong lý thuyết phạm trù và khoa học máy tính:
  • F-đại số và F-đối đại số
  • T-đại số

Dạng tính từ

Ở dạng tính từ, "đại số" có thể chỉ bất kỳ bộ môn nào liên quan đến đại số trong toán học và các phân nhánh liên quan như lý thuyết số đại số và tô pô đại số. "Đại số" cũng có thể chỉ:

• Kiểu dữ liệu đại số, một kiểu dữ liệu trong lập trình máy tính mà trong đó mỗi giá trị đều là dữ liệu từ kiểu dữ liệu khác được đóng gói ở một trong các hàm tạo của kiểu dữ liệu đó
• Số đại số, số phức nghiệm đúng đa thức một ẩn khác không với hệ số nguyên
• Hàm đại số, hàm thỏa mãn một số đa thức nhất định
• Phần tử đại số, một phần tử trong mở rộng trường nghiệm đúng một đa thức nào đó trên trường nền
• Mở rộng đại số, một mở rộng trường sao chỗ mọi phần tử đều là phần tử đại số trên trường nền
• Cấu trúc đại số, một tập hợp với một hoặc nhiều phép toán hữu hạn xác định trên nó
• Tổng đại số, một phép lấy tổng các đại lượng có xét đến dấu; ví dụ, tổng đại số của 4, 3 và -8 là -1.

Xem thêm

• Tất cả các trang có tên bắt đầu bằng "đại số"