Thành viên:Cheminiwawaky/nháp

Sơ đồ khối biểu diễn nguyên lý chồng chập và bất biến theo thời gian cho một hệ thống liên tục tất định một ngõ vào một ngõ ra. Hệ thống thỏa mãn nguyên lý chồng chập và bất biến theo thời gian khi và chỉ khi y₃(t) = a₁y₁(t – t₀) + a₂y₂(t – t₀) với mọi thời gian t, với mọi hằng số thực a₁, a₂, t₀ và với mọi đầu vào x₁(t), x₂(t). Bấm vào để phóng to hình

Trong giải tích hệ thống điện cùng những lĩnh vực nghiên cứu khác, một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian, hệ thống tuyến tính bất biến hay hệ thống LTI (tiếng Anh: Linear time-invariant system) là một hệ thống khi nhận tín hiệu đầu bất kỳ vào sẽ cho ra đáp ứng đầu ra thỏa mãn tính tuyến tính và bất biến – các tính chất này sẽ được đề cập trong phần tổng quan. Các tính chất vừa nêu có thể được áp dụng một cách chính xác hoặc xấp xỉ với nhiều hệ hệ vật lý quan trọng mà ở đó đáp ứng y(t) của hệ thống với một đầu vào bất kỳ x(t) có thể được tìm ra bằng cách dùng tích chập: y(t) = (x ∗ h)(t) với h(t) là đáp ứng xung và ∗ ký hiệu cho toán tử tích chập (đừng nhầm lẫn với phép nhân). Ngoài ra, các hệ này có thể giải được một cách có hệ thống (bằng cách xác định h(t)), trong khi những hệ không thỏa mãn cả hai tính chất này thường rất khó, hoặc không thể giải được bằng lời giải giải tích. Một ví dụ tiêu biểu về hệ thống LTI là một mạch điện chứa điện trở, tụ điện, cuộn cảm và bộ khuếch đại tuyến tính.

Các hệ thống LTI cũng được sử dụng trong xử lý ảnh, trong đó các hệ thống thường có sự thay thế hoặc bổ sung biến thời gian bằng biến không gian khác. Các hệ thống này còn có thể được gọi là hệ thống tuyến tính bất biến tịnh tiến (linear translation-invariant) nhằm tổng quát hóa thuật ngữ nhất có thể. Đối với các hệ rời rạc, thuật ngữ này còn được gọi là tuyến tính bất biến dịch chuyển (linear shift-invariant). Lý thuyết hệ thống LTI là một ngành toán học ứng dụng có ứng dụng trực tiếp trong giải tích mạch, xử lý tín hiệu, thiết kê bộ lọc tín hiệu, lý thuyết điều khiển tự động, kỹ thuật cơ khí, xử lý ảnh, thiết kế hệ thống thiết bị đo lường, phổ cộng hưởng từ hạt nhân, và nhiều ngành kỹ thuật khác xuất hiện các phương trình vi phân thường.

Tổng quan

Bất kì hệ thống LTI nào đều được xác định bởi hai tính chất là tính tuyến tính và tính bất biến theo thời gian.

• Tính tuyến tính có nghĩa là quan hệ giữa đầu vào $x(t)$ và đầu ra (hay đáp ứng) $y(t)$ là một ánh xạ tuyến tính: Nếu $a$ là một hằng số thì đầu ra hệ thống ứng với đầu vào $ax(t)$ là $ay(t)$; nếu $x_{1}(t)$ là một đầu vào khác ứng với đầu ra $y_{1}(t)$ thì đầu ra của hệ thống ứng với đầu vào $x(t)+x_{1}(t)$ là $y(t)+y_{1}(t)$, điều này áp dụng với tất cả các trường hợp $a$, $x(t)$, $x_{1}(t)$. Điều kiện này còn được goi là nguyên lý chồng chập`.
• Tính bất biến theo thời gian có nghĩa là là khi tín hiệu đầu vào bị trễ bằng một khoảng thời gian T, thì tín hiệu đầu ra cũng không đổi mà chỉ bị trễ đúng bằng khoảng thời gian T. Nói cách khác, nếu đầu ra ứng với đầu vào $x(t)$ là $y(t)$, thì đầu ra ứng với đầu vào $x(t-T)$ là $y(t-T)$. Vì vậy, hệ thống là bất biến theo thời gian bởi vì đầu ra không phụ thuộc vào thời điểm đầu vào tác động lên hệ thống.

Một hệ quả cơ bản trong lý thuyết hệ thống LTI là bất kỳ hệ thống LTI nào đều có thể được xác định bởi đáp ứng xung của hệ thống. Đối với hệ thống liên tục, đáp ứng hệ thống $y(t)$ đơn giản là tích chập của tín hiệu đầu vào $x(t)$ với đáp ứng xung $h(t)$. Một hệ thống tuyến tính rời rạc bất biến theo thời gian (hoặc, tổng quát hơn là bất biến dịch chuyển) thì có thể được định nghĩa bằng quan hệ : $y_{i}=x_{i}*h_{i}$ với y, x, h là các dãy số và phép tích chập trên miền thời gian rời rạc có dạng tổng thay vì tích phân.

Quan hệ giữa miền thời gian và miền tần số

Trên miền tần số, hệ thống LTI còn có thể được đặc trưng bởi hàm truyền của hệ thống – biến đổi Laplace của đáp ứng xung (hoặc biến đổi Z đối với hệ thống rời rạc). Hệ quả của tính chất của các biến đổi này là đáp ứng của hệ thống trong miền tần số là tích của hàm truyền và biến đổi của tín hiệu đầu vào. Nói cách khác, phép lấy tích chập trong miền thời gian là phép nhân trong miền tần số.

Đối với mọi hệ thống LTI, các hàm riêng, và các hàm cơ sở của các biến đổi của hệ thống, là hàm mũ phức. Nếu tín hiệu đầu vào của hàm truyền là $A_{s}e^{st}$ với biên độ phức $A_{s}$ và tần số phức $s$, đầu ra sẽ bằng tín hiệu đầu vào nhân với một hằng số phức. Ví dụ nếu đầu ra có dạng là $B_{s}e^{st}$ với cường độ phức $B_{s}$ thì tỉ số $B_{s}/A_{s}$ là hàm truyền của hệ thống tại tần số $s$.

Vì hàm hình sin là tổng của các hàm mũ phức với tần số là số phức liên hợp của nhau, nếu tín hiệu đầu vào là hàm hình sin, thì đáp ứng của hệ thống cũng là hàm hình sin, với pha và biên độ có thể khác với tín hiệu đầu vào, nhưng tần số thì sẽ luôn giống khi hệ thống đạt đến trạng thái xác lập. Hệ thống LTI không thể cho ra thành phần đáp ứng có tần số khác với tín hiệu đầu vào.

Lí thuyết hệ thống LTI có thể hữu dụng để mô tả nhiều hệ thống. Hầu hết hệ thống LTI được xem là "đơn giản" để phân tích, ít nhất là so với các trường hợp phi tuyến tính hoặc biến đổi theo thời gian. Bất kì hệ thống nào có thể được mô hình hóa bằng phương trình vi phân với các hệ số là hằng số đều là một hệ thống LTI. Examples of such systems are electrical circuits made up of resistors, inductors, and capacitors (RLC circuits). Ideal spring–mass–damper systems are also LTI systems, and are mathematically equivalent to RLC circuits.

Most LTI system concepts are similar between the continuous-time and discrete-time (linear shift-invariant) cases. In image processing, the time variable is replaced with two space variables, and the notion of time invariance is replaced by two-dimensional shift invariance. When analyzing filter banks and MIMO systems, it is often useful to consider vectors of signals.

Hệ thống tuyến tính không bất biến có thể được giải bằng phương pháp khác như phương pháp sử dụng hàm Green.

Hệ thống liên tục trên miền thời gian

Đáp ứng xung và tích chập

Hành vi của một hệ tuyến tinh bất biến theo thời gian với tín hiệu đầu vào x(t) và tín hiệu đầu ra y(t) được mô tả bởi tích chập:

$y(t)=(x*h)(t)$	$\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau$
	$=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$       (sử dụng tính giao hoán)

với ${\textstyle h(t)}$ là đáp ứng xung: ${\textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$. ${\textstyle y(t)}$ is therefore proportional to a weighted average of the input function ${\textstyle x(\tau )}$. The weighting function is ${\textstyle h(-\tau )}$, simply shifted by amount ${\textstyle t}$. As ${\textstyle t}$ changes, the weighting function emphasizes different parts of the input function. When ${\textstyle h(\tau )}$ is zero for all negative ${\textstyle \tau }$, ${\textstyle y(t)}$ depends only on values of ${\textstyle x}$ prior to time ${\textstyle t}$, and the system is said to be causal.

Để hiểu được tại sao tích chập có thể cho ra được đáp ứng của hệ thống LTI, ta kí hiệu ${\textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$ là hàm ${\textstyle x(u-\tau )}$ với biến ${\textstyle u}$ và thời hằng ${\textstyle \tau }$. Và ta kí hiệu ${\textstyle \{x\}}$ là ${\textstyle \{x(u);\ u\}}$. Then a continuous-time system transforms an input function, ${\textstyle \{x\},}$ into an output function, ${\textstyle \{y\}}$. And in general, every value of the output can depend on every value of the input. This concept is represented by: $$y(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{x\},$$ where ${\textstyle O_{t}}$ is the transformation operator for time ${\textstyle t}$. In a typical system, ${\textstyle y(t)}$ depends most heavily on the values of ${\textstyle x}$ that occurred near time ${\textstyle t}$. Unless the transform itself changes with ${\textstyle t}$, the output function is just constant, and the system is uninteresting.

Đối với hệ tuyến tính, ${\textstyle O}$ phải thỏa mãn pt 1:

$O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .$

(2)

And the time-invariance requirement is:

${\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y(t-\tau )\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}$

(Eq.3)

In this notation, we can write the impulse response as ${\textstyle h(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Similarly:

$h(t-\tau )$	$\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}$
	$=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.$       (using Eq.3)

Substituting this result into the convolution integral: $${\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}$$

which has the form of the right side of Eq.2 for the case ${\textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$ and ${\textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

Eq.2 then allows this continuation: $${\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\[4pt]&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} y(t).\,\end{aligned}}$$

In summary, the input function, ${\textstyle \{x\}}$, can be represented by a continuum of time-shifted impulse functions, combined "linearly", as shown at Eq.1. The system's linearity property allows the system's response to be represented by the corresponding continuum of impulse responses, combined in the same way. And the time-invariance property allows that combination to be represented by the convolution integral.

The mathematical operations above have a simple graphical simulation.

Hàm riêng dạng hàm mũ

Hàm riêng là một hàm mà đầu ra của toán tử ứng với đầu vào là hàm đó bằng với bản thân hàm đó nhân với một hằng số. Nói cách khác, $${\mathcal {H}}f=\lambda f,$$ với f là hàm riêng và hằng số $\lambda$ là trị riêng.

Hàm mũ $Ae^{st}$, với $A,s\in \mathbb {C}$, là hàm riêng của một toán tử tuyến tính, bất biến theo thời gian. Điều này có thể được biểu diễn bằng một chứng minh đơn giản. Giả sự tín hiệu đầu vào là $x(t)=Ae^{st}$. Đá[ ứng của hệ với đáp ứng xung $h(t)$ là $$\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\mathrm {d} \tau$$ Thông qua tính hoán vị của tích chập, biểu thức trên bằng với $${\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\mathrm {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{tín hiệu vào}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{vô hướng}}} ^{\lambda },\\\end{aligned}}$$

trong đó thành phần vô hướng $$H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$$ chỉ phụ thuộc vào biến s.

Vì vậy đáp ứng của hệ tỉ lệ với tín hiệu đầu vào. Cụ thể là, với mọi $A,s\in \mathbb {C}$, đáp ứng của hệ là tích của tín hiệu đầu vào $Ae^{st}$với hằng số vô hướng $H(s)$. Vì vậy, $Ae^{st}$ là một hàm riêng của một hệ thống LTI, trị riêng tương ứng là $H(s)$.

Chứng minh trực tiếp

Hàm riêng dạng hàm mũ của hệ thống LTI cũng có thể được tìm ra một cách trực tiếp.

Gọi $v(t)=e^{i\omega t}$ là một hàm mũ và $v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}$ là

$H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)$ thông qua tính tuyến tính với hằng số tỉ lệ $e^{i\omega a}$.

$H[v_{a}](t)=H[v](t+a)$ thông qua tính bất biến của $H$.

Vì vậy $H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)$. Đặt $t=0$ and renaming we get: $$H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)$$ i.e. that a complex exponential $e^{i\omega \tau }$ as input will give a complex exponential of same frequency as output.

Biến đổi Fourier và Laplace

The eigenfunction property of exponentials is very useful for both analysis and insight into LTI systems. The one-sided Laplace transform $$H(s)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}\{h(t)\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\mathrm {d} t$$ is exactly the way to get the eigenvalues from the impulse response. Of particular interest are pure sinusoids (i.e., exponential functions of the form $e^{j\omega t}$ where $\omega \in \mathbb {R}$ and $j\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\sqrt {-1}}$). The Fourier transform $H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}$ gives the eigenvalues for pure complex sinusoids. Both of $H(s)$ and $H(j\omega )$ are called the system function, system response, or transfer function.

The Laplace transform is usually used in the context of one-sided signals, i.e. signals that are zero for all values of t less than some value. Usually, this "start time" is set to zero, for convenience and without loss of generality, with the transform integral being taken from zero to infinity (the transform shown above with lower limit of integration of negative infinity is formally known as the bilateral Laplace transform).

The Fourier transform is used for analyzing systems that process signals that are infinite in extent, such as modulated sinusoids, even though it cannot be directly applied to input and output signals that are not square integrable. The Laplace transform actually works directly for these signals if they are zero before a start time, even if they are not square integrable, for stable systems. The Fourier transform is often applied to spectra of infinite signals via the Wiener–Khinchin theorem even when Fourier transforms of the signals do not exist.

Due to the convolution property of both of these transforms, the convolution that gives the output of the system can be transformed to a multiplication in the transform domain, given signals for which the transforms exist $$y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.$$

One can use the system response directly to determine how any particular frequency component is handled by a system with that Laplace transform. If we evaluate the system response (Laplace transform of the impulse response) at complex frequency s = jω, where ω = 2πf, we obtain |H(s)| which is the system gain for frequency f. The relative phase shift between the output and input for that frequency component is likewise given by arg(H(s)).

Ví dụ

• Một ví dụ đơn giản về toán tử LTI là đạo hàm
  • ${\frac {\operatorname {d} \!}{\operatorname {d} \!t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)$ (tính tuyến tính)
  • ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )$ (tính bất biến)

  Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm số thì bằng biến đổi Laplace của hàm số đó nhân với s.

  $${\mathcal {L}}\left\{{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)$$

  Toán tử đạo hàm có biến đổi Laplace rất đơn giản, điều đó phần nào giải thích sự hữu ích của phép biến đổi Laplace.

  Một ví dụ khác về toán tử LTI là hàm trung bình

  $${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$$Bằng tính tuyến tính của phép lấy tích phân

  $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}$$do đó toán tử trên là tuyến tính. Thêm vào đó, vì$${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\mathrm {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\mathrm {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}$$nên toán tử trên bất biến. Thực ra, ${\mathcal {A}}$ có thể được biểu diễn dưới dạng tích chập với hàm chữ nhật $\Pi (x)$

  $${\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda ,$$với hàm chữ nhật được định nghĩa bởi

  $$\Pi (t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\begin{cases}1&{\text{nếu }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{nếu }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$$

Tính chất quan trọng

Some of the most important properties of a system are causality and stability. Causality is a necessity for a physical system whose independent variable is time, however this restriction is not present in other cases such as image processing.

Tính nhân quả

Bài chi tiết: Hệ thống nhân quả

Một hệ thống được gọi là nhân quả chỉ phụ thuộc vào hiện tại và quá khứ mà không phụ thuộc vào đầu vào trong tương lai. Điều kiện cần và đủ cho tính nhân quả là $$h(t)=0\quad \forall t<0,$$

với $h(t)$ là đáp ứng xung. Tính nhân quả không thể xác định được một cách tổng quát thông qua biến đổi Laplace hai phía Tuy nhiên khi làm việc với miền thời gian, ta thường sử dụng biến đổi Laplace một phía, phép biến đổi này cần tính nhân quả.

Tính ổn định

Bài chi tiết: Ổn định BIBO

Một hệ được được gọi là ổn định đầu vào bị giới hạn ứng với đầu ra bị giới hạn, hay ổn định BIBO (Bounded Input-Bounded Output Stable), nếu với mỗi tín hiệu đầu vào bị giới hạn, tín hiệu đầu ra của hệ cũng bị giới hạn. Theo cách phát biểu toán học, nếu ứng với mỗi đầu vào thỏa mãn $$\ \|x(t)\|_{\infty }<\infty$$

đầu ra cũng thỏa mãn $$\ \|y(t)\|_{\infty }<\infty$$

(nói cách khác, nếu $x(t)$ có giá trị tuyệt đối tối đa thì $y(t)$ cũng có giá trị tuyệt đối tối đa), thì hệ ổn định. Điều kiện cần và đủ cho tính ổn định trên là đáp ứng xung $h(t)$ thuộc không gian L¹ (có chuẩn L¹ hữu hạn): $$\|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\mathrm {d} t<\infty .$$

Trong miền tần số, miền hội tụ phải chứa trục ảo $s=j\omega$.

Ví dụ, một bộ lọc thông thấp lý tưởng có đáp ứng xung là hàm sinc thì không ổn định BIBO, bởi vì hàm sinc không có chuẩn L¹ hữu hạn. Vì vậy, tồn tại tín hiệu đầu vào bị giới hạn sao cho tín hiệu ra của bộ lọc thông thấp lý tưởng không bị giới hạn. Chẳng hạn như, if the input is zero for $t<0$ and bằng với hàm hình sin có tần số bằng tần số cắt for $t>0$, thì đầu ra sẽ không bị giới hạn.

Hệ thống rời rạc

Hầu hết các khái niệm liên quan đến hệ thống liên tục đều có khái niệm tương xứng đối với hệ thống rời rạc

Hệ thống rời rạc trong hệ thống liên tục

In many contexts, a discrete time (DT) system is really part of a larger continuous time (CT) system. For example, a digital recording system takes an analog sound, digitizes it, possibly processes the digital signals, and plays back an analog sound for people to listen to.

In practical systems, DT signals obtained are usually uniformly sampled versions of CT signals. If $x(t)$ is a CT signal, then the sampling circuit used before an analog-to-digital converter will transform it to a DT signal: $$x_{n}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,$$ where T is the sampling period. Before sampling, the input signal is normally run through a so-called Nyquist filter which removes frequencies above the "folding frequency" 1/(2T); this guarantees that no information in the filtered signal will be lost. Without filtering, any frequency component above the folding frequency (or Nyquist frequency) is aliased to a different frequency (thus distorting the original signal), since a DT signal can only support frequency components lower than the folding frequency.

Đáp ứng xung và tích chập

Let $\{x[m-k];\ m\}$ represent the sequence $\{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.$

And let the shorter notation $\{x\}$ represent $\{x[m];\ m\}.$

A discrete system transforms an input sequence, $\{x\}$ into an output sequence, $\{y\}.$ In general, every element of the output can depend on every element of the input. Representing the transformation operator by $O$, we can write: $$y[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{x\}.$$

Note that unless the transform itself changes with n, the output sequence is just constant, and the system is uninteresting. (Thus the subscript, n.) In a typical system, y[n] depends most heavily on the elements of x whose indices are near n.

For the special case of the Kronecker delta function, $x[m]=\delta [m],$ the output sequence is the impulse response: $$h[n]\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n}\{\delta [m];\ m\}.$$

For a linear system, $O$ must satisfy:

$O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.$

(Eq.4)

And the time-invariance requirement is:

${\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} y[n-k]\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}$

(Eq.5)

In such a system, the impulse response, $\{h\}$, characterizes the system completely. That is, for any input sequence, the output sequence can be calculated in terms of the input and the impulse response. To see how that is done, consider the identity: $$x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],$$

which expresses $\{x\}$ in terms of a sum of weighted delta functions.

Therefore: $${\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}$$

where we have invoked Eq.4 for the case $c_{k}=x[k]$ and $x_{k}[m]=\delta [m-k]$.

And because of Eq.5, we may write: $${\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}&\mathrel {\stackrel {\quad }{=}} O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} h[n-k].\end{aligned}}$$

Therefore:

$y[n]$	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]$
	$=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],$       (commutativity)

which is the familiar discrete convolution formula. The operator $O_{n}$ can therefore be interpreted as proportional to a weighted average of the function x[k]. The weighting function is h[−k], simply shifted by amount n. As n changes, the weighting function emphasizes different parts of the input function. Equivalently, the system's response to an impulse at n=0 is a "time" reversed copy of the unshifted weighting function. When h[k] is zero for all negative k, the system is said to be causal.

Hàm riêng dạng hàm mũ

An eigenfunction is a function for which the output of the operator is the same function, scaled by some constant. In symbols, $${\mathcal {H}}f=\lambda f,$$

where f is the eigenfunction and $\lambda$ is the eigenvalue, a constant.

The exponential functions $z^{n}=e^{sTn}$, where $n\in \mathbb {Z}$, are eigenfunctions of a linear, time-invariant operator. $T\in \mathbb {R}$ is the sampling interval, and $z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C}$. A simple proof illustrates this concept.

Suppose the input is $x[n]=z^{n}$. The output of the system with impulse response $h[n]$ is then $$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}$$

which is equivalent to the following by the commutative property of convolution $$\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)$$ where $$H(z)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}$$ is dependent only on the parameter z.

So $z^{n}$ is an eigenfunction of an LTI system because the system response is the same as the input times the constant $H(z)$.

Z and discrete-time Fourier transforms

The eigenfunction property of exponentials is very useful for both analysis and insight into LTI systems. The Z transform $$H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}$$

is exactly the way to get the eigenvalues from the impulse response. Of particular interest are pure sinusoids; i.e. exponentials of the form $e^{j\omega n}$, where $\omega \in \mathbb {R}$. These can also be written as $z^{n}$ with $z=e^{j\omega }$. The discrete-time Fourier transform (DTFT) $H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}$ gives the eigenvalues of pure sinusoids. Both of $H(z)$ and $H(e^{j\omega })$ are called the system function, system response, or transfer function.

Like the one-sided Laplace transform, the Z transform is usually used in the context of one-sided signals, i.e. signals that are zero for t<0. The discrete-time Fourier transform Fourier series may be used for analyzing periodic signals.

Due to the convolution property of both of these transforms, the convolution that gives the output of the system can be transformed to a multiplication in the transform domain. That is, $$y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.$$

Just as with the Laplace transform transfer function in continuous-time system analysis, the Z transform makes it easier to analyze systems and gain insight into their behavior.

Ví dụ

• A simple example of an LTI operator is the delay operator $D\{x[n]\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} x[n-1]$.
  • $D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]$   (i.e., it is linear)
  • $D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]$   (i.e., it is time invariant)

  The Z transform of the delay operator is a simple multiplication by z⁻¹. That is,

  $${\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).$$
• Another simple LTI operator is the averaging operator $${\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].$$ Because of the linearity of sums, $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}$$ and so it is linear. Because, $${\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}$$ it is also time invariant.

Important system properties

The input-output characteristics of discrete-time LTI system are completely described by its impulse response $h[n]$. Two of the most important properties of a system are causality and stability. Non-causal (in time) systems can be defined and analyzed as above, but cannot be realized in real-time. Unstable systems can also be analyzed and built, but are only useful as part of a larger system whose overall transfer function is stable.

Causality

Bài chi tiết: Hệ thống nhân quả

A discrete-time LTI system is causal if the current value of the output depends on only the current value and past values of the input. A necessary and sufficient condition for causality is $$h[n]=0\ \forall n<0,$$ where $h[n]$ is the impulse response. It is not possible in general to determine causality from the Z transform, because the inverse transform is not unique. When a region of convergence is specified, then causality can be determined.

Tính ổn định

Bài chi tiết: Ổn định BIBO

A system is bounded input, bounded output stable (BIBO stable) if, for every bounded input, the output is finite. Mathematically, if $$\|x[n]\|_{\infty }<\infty$$

implies that $$\|y[n]\|_{\infty }<\infty$$

(that is, if bounded input implies bounded output, in the sense that the maximum absolute values of $x[n]$ and $y[n]$ are finite), then the system is stable. A necessary and sufficient condition is that $h[n]$, the impulse response, satisfies $$\|h[n]\|_{1}\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .$$

In the frequency domain, the region of convergence must contain the unit circle (i.e., the locus satisfying $|z|=1$ for complex z).

See also

• Circulant matrix
• Frequency response
• Impulse response
• System analysis
• Green function
• Signal-flow graph

References

• Phillips, C.L., Parr, J.M., & Riskin, E.A. (2007). Signals, systems and Transforms. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• Hespanha, J.P. (2009). Linear System Theory. Princeton university press. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Crutchfield, Steve (12 tháng 10 năm 2010), “The Joy of Convolution”, Johns Hopkins University, truy cập ngày 21 tháng 11 năm 2010
• Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (tháng 5 năm 1995). “Role of anticausal inverses in multirate filter banks — Part I: system theoretic fundamentals” (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395.

Further reading

• Porat, Boaz (1997). A Course in Digital Signal Processing. New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
• Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (tháng 5 năm 1995). “Role of anticausal inverses in multirate filter banks — Part I: system theoretic fundamentals” (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 43 (5): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395.

External links

• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
• ECE 209: Sources of Phase Shift – Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two common electrical LTI systems.
• JHU 520.214 Signals and Systems course notes. An encapsulated course on LTI system theory. Adequate for self teaching.
• LTI system example: RC low-pass filter. Amplitude and phase response.