Tích rỗng

Trong toán học, tích rỗng là kết quả của phép nhân không nhân tử. Theo quy ước tích rỗng bằng nhân tử đơn vị (nếu như phép nhân đang xét có đơn vị), cũng giống như tổng rỗng – tổng của không số hạng – theo quy ước bằng 0 hoặc bằng đơn vị cộng.

Thuật ngữ "tích rỗng" thường được sử dụng theo nghĩa trên khi bàn luận về các phép toán số học. Tuy vậy, thuật ngữ này đôi khi được dùng trong những ngành khác như phép giao trong lý thuyết tập hợp, tích phạm trù và các tích trong lập trình máy tính.

Tích số học khả rỗng

Lập luận

Xét dãy số a₁, a₂, a₃, … và đặt

$P_{m}=\prod _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}\cdots a_{m}$

là tích của m số hạng đầu tiên của dãy. Khi ấy

$P_{m}=a_{m}\cdot P_{m-1}$

với mọi m = 1, 2, … nếu ta cho P₁ = a₁ và P₀ = 1 (đây là số duy nhất thỏa mãn hệ thức trên). Nói cách khác, "tích" P₁ với chỉ một nhân tử bằng nhân tử đó, còn "tích" P₀ với không nhân tử thì bằng 1. Quy ước một "tích" của một hoặc không nhân tử làm đơn giản hóa nhiều công thức toán học. Những "tích" như thế thường làm điểm bắt đầu cho những chứng minh quy nạp, cũng như trong thuật toán. Do đó, tích rỗng bằng một là một quy ước thường được dùng trong toán học và khoa học máy tính.

Sử dụng

Khái niệm tích rỗng cũng hữu ích như số không và tập rỗng: tuy có vẻ không quan trọng, chúng giúp đơn giản hóa nhiều biểu thức và chứng minh trong toán học và những ngành liên quan.

Ví dụ, các tích rỗng cho ta 0! = 1 (ký hiệu giai thừa) và x⁰ = 1, làm gọn ký hiệu chuỗi Taylor (xem không mũ không trong trường hợp x = 0). Tương tự, nếu M là một ma trận n × n thì M⁰ là ma trận đơn vị n × n, nghĩa là áp dụng một ánh xạ tuyến tính không lần thì tương đương với việc áp dụng một biến đổi đồng nhất.

Một ví dụ khác, định lý cơ bản của số học nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tích của các số nguyên tố. Tuy nhiên, nếu ta không cho phép tích của 0 hay 1 thừa số thì định lý và chứng minh sẽ trở nên dài và phức tạp hơn.

Một số ví dụ khác của tích rỗng trong toán học có thể được thấy trong định lý nhị thức (coi x⁰ = 1 với mọi x), số Stirling, Định lý König, chuỗi nhị thức và ký hiệu Pochhammer.

Logarit

Do logarit biến tích thành tổng

$\ln \left(\prod _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}\ln x_{i}$

chúng biến tích rỗng thành tổng rỗng. Do đó nếu ta định nghĩa tích rỗng bằng 1 thì tổng rỗng phải bằng ln(1) = 0. Ngược lại, hàm lũy thừa biến tổng thành tích, do đó nếu ta định nghĩa tổng rỗng bằng 0 thì tích rỗng phải bằng e⁰ = 1.

Tích Descartes khả rỗng

Xét định nghĩa tổng quát của tích Descartes các tập X_i:

$\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\,g:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i\ g(i)\in X_{i}\,\right\}.$

Nếu I là tập rỗng, g duy nhất thỏa điều kiện trên là hàm rỗng $f_{\varnothing }\colon \varnothing \to \varnothing$, tức là một tập rỗng $\varnothing$

$\prod _{\varnothing }{}=\left\{\,f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \,\right\}=\{\varnothing \}.$

Do đó, lực lượng của tích Descartes rỗng là 1.

Trong logic

Logic cổ điển định nghĩa phép hội, được tổng quát thành định lượng với mọi ∀ trong logic bậc nhất, thường được coi là phép nhân logic vì ta thường coi đúng là 1 và sai là 0, khiến kết quả của phép hội giống với phép nhân. Trong trường hợp có 0 nhân tử, ta có một phép hội rỗng, và cho kết quả đúng.

Trong lập trình máy tính

Nhiều ngôn ngữ lập trình, ví dụ như Python hay Julia, có hàm tích có thể trả về tích của các số trong mảng. Ví dụ như trong Python (bản 3.8 trở lên):

math.prod([2, 3, 5]) # = 30
math.prod([2, 3])    # = 6
math.prod([2])       # = 2
math.prod([])        # = 1

Quy ước này giúp tránh phải xét trường hợp riêng biệt nếu độ dài mảng là 0 hay 1.

Do phép nhân là toán tử trung tố, tức chúng nằm giữa hai nhân tử, làm phức tạp hóa ký hiệu của tích rỗng. Một số ngôn ngữ lập trình có các hàm chấp nhận số ẩn số thay đổi. Ví dụ, ký hiệu tiền tố đóng ngoặc của Lisp cho ta biểu diễn tự nhiên sau

(* 2 3 4)  ; bằng 24
(* 2 3)    ; bằng 6
(* 2)      ; bằng 2
(*)        ; bằng 1

Xem thêm

• Tổng rỗng
• Hàm số rỗng

Liên kết ngoài

• Bài viết về tích rỗng trên PlanetMath