Quá trình thực nghiệm là công cụ quan trọng để giải các bài toán ước lượng và kiểm định giả thiết thống kê . Đây là công cụ đặc biệt quan trọng khi mô hình thống kê là phi tham số hay bán tham số, đó là mô hình có một hay nhiều thành phần chưa biết là một hàm đo được hay một đại lượng vô hạn chiều. Các phương pháp quá trình thực nghiệm là kỹ thuật công hiệu để đánh giá các tính chất của ước lượng dựa trên mô hình bán tham số như tính vững, sự hội tụ theo phân phối và sự hiệu lực của bootstrap .
sửa
Cho
ξ
1
,
ξ
2
,
…
,
ξ
n
{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}}
phần tử ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, xác định trên không gian xác suất
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
không gian đo được
(
X
,
B
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}
phân phối xác suất
μ
{\displaystyle \mu }
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
μ
(
B
)
=
P
(
{
ω
∈
Ω
:
ξ
1
(
ω
)
∈
B
}
)
{\displaystyle \mu (B)=\mathbb {P} (\{\omega \in \Omega :\xi _{1}(\omega )\in B\})}
μ
n
=
1
n
(
ϵ
ξ
1
+
ϵ
ξ
2
+
…
+
ϵ
ξ
n
)
{\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{n}}(\epsilon _{\xi _{1}}+\epsilon _{\xi _{2}}+\ldots +\epsilon _{\xi _{n}})}
được gọi là độ đo thực nghiệm của
ξ
1
,
ξ
2
,
…
,
ξ
n
{\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
ϵ
x
(
B
)
=
{
1
,
x
∈
B
0
,
x
∉
B
,
B
∈
B
.
{\displaystyle \epsilon _{x}(B)=\left\{{\begin{array}{ll}1\;,&\quad x\in B\\0\;,&\quad x\notin B\end{array}}\right.,\quad B\in {\mathcal {B}}.}
Giả sử
C
⊂
B
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {B}}}
I
C
{\displaystyle I_{C}}
hàm đặc trưng của tập
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
μ
n
(
C
)
{\displaystyle \mu _{n}(C)}
μ
n
(
C
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
I
C
(
ξ
i
)
;
{\displaystyle \mu _{n}(C)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{C}(\xi _{i});}
và ký hiệu
(
μ
n
(
C
)
)
C
∈
C
{\displaystyle (\mu _{n}(C))_{C\in {\mathcal {C}}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Đặt
β
n
(
C
)
=
n
(
μ
n
(
C
)
−
μ
(
C
)
)
,
C
∈
C
⊂
B
.
{\displaystyle \beta _{n}(C)={\sqrt {n}}(\mu _{n}(C)-\mu (C)),\quad C\in {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {B}}.}
Khi đó,
(
β
n
(
C
)
)
C
∈
C
{\displaystyle (\beta _{n}(C))_{C\in {\mathcal {C}}}}
quá trình thực nghiệm
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Peter Gaenssler, Empirical processes , Mathematical Institute of the University of München, 1983.
Jon A. Wellner, Empirical processes: Theory and Applications , Delft Technical University, Washington, 2005. 
