sửa
Nếu các hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung thì ta có thể đặt nhân tử chung đó làm thừa số. VD:
a
b
−
a
c
{\displaystyle ab-ac\,}
=
a
.
(
b
−
c
)
{\displaystyle =a.(b-c)\,}
sửa
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. VD:
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}\,}
=
(
x
−
y
)
.
(
x
+
y
)
{\displaystyle =(x-y).(x+y)\,}
[ 1]
sửa
1.
(
A
+
B
)
2
=
A
2
+
2
A
B
+
B
2
{\displaystyle (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}}
2.
A
2
−
B
2
=
(
A
−
B
)
(
A
+
B
)
{\displaystyle A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)}
3.
(
A
−
B
)
2
=
A
2
−
2
A
B
+
B
2
{\displaystyle (A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}}
4.
(
A
+
B
)
3
=
A
3
+
3
A
2
B
+
3
A
B
2
+
B
3
{\displaystyle (A+B)^{3}=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}}
5.
(
A
−
B
)
3
=
A
3
−
3
A
2
B
+
3
A
B
2
−
B
3
{\displaystyle (A-B)^{3}=A^{3}-3A^{2}B+3AB^{2}-B^{3}}
6.
A
3
+
B
3
=
(
A
+
B
)
(
A
2
−
A
B
+
B
2
)
{\displaystyle A^{3}+B^{3}=(A+B)(A^{2}-AB+B^{2})}
7.
A
3
−
B
3
=
(
A
−
B
)
(
A
2
+
A
B
+
B
2
)
{\displaystyle A^{3}-B^{3}=(A-B)(A^{2}+AB+B^{2})}
1.
(
A
+
B
+
C
)
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
+
2
A
B
+
2
B
C
+
2
A
C
{\displaystyle (A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB+2BC+2AC}
2.
(
A
−
B
+
C
)
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
−
2
A
B
−
2
B
C
+
2
A
C
{\displaystyle (A-B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}-2AB-2BC+2AC}
3.
(
A
+
B
−
C
)
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
+
2
A
B
−
2
B
C
−
2
A
C
{\displaystyle (A+B-C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2AB-2BC-2AC}
4.
(
−
A
+
B
+
C
)
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
−
2
A
B
+
2
B
C
−
2
A
C
{\displaystyle (-A+B+C)^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}-2AB+2BC-2AC}
5. Tổng quát:
(
N
1
+
N
2
+
N
3
+
⋯
+
N
a
)
2
=
N
1
2
+
N
2
2
+
N
3
2
+
⋯
+
N
a
2
+
(
2
N
1
N
2
+
2
N
1
N
3
+
⋯
+
2
N
1
N
a
)
+
{\displaystyle (N_{1}+N_{2}+N_{3}+\cdots +N_{a})^{2}=N_{1}^{2}+N_{2}^{2}+N_{3}^{2}+\cdots +N_{a}^{2}+(2N_{1}N_{2}+2N_{1}N_{3}+\cdots +2N_{1}N_{a})+}
(
2
N
2
N
3
+
2
N
2
N
4
+
⋯
+
2
N
2
N
a
)
+
(
2
N
3
N
4
+
2
N
3
N
5
+
⋯
+
2
N
3
N
a
)
+
⋯
+
(
2
N
a
−
2
N
a
−
1
+
2
N
a
−
2
N
a
)
+
(
2
N
a
−
1
N
a
)
{\displaystyle (2N_{2}N_{3}+2N_{2}N_{4}+\cdots +2N_{2}N_{a})+(2N_{3}N_{4}+2N_{3}N_{5}+\cdots +2N_{3}N_{a})+\cdots +(2N_{a-2}N_{a-1}+2N_{a-2}N_{a})+(2N_{a-1}N_{a})}
sửa
8.
A
n
−
B
n
=
(
A
−
B
)
(
A
n
−
1
+
A
n
−
2
B
+
A
n
−
3
B
2
+
⋯
+
A
B
n
−
2
+
B
n
−
1
)
{\displaystyle A^{n}-B^{n}=(A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^{2}+\cdots +AB^{n-2}+B^{n-1})}
9.
A
n
+
B
n
=
(
A
+
B
)
(
A
n
−
1
−
A
n
−
2
B
+
A
n
−
3
B
2
−
⋯
−
A
B
n
−
2
+
B
n
−
1
)
{\displaystyle A^{n}+B^{n}=(A+B)(A^{n-1}-A^{n-2}B+A^{n-3}B^{2}-\cdots -AB^{n-2}+B^{n-1})}
Với đa thức
A
+
B
{\displaystyle A+B}
(
A
+
B
)
0
=
1
{\displaystyle (A+B)^{0}=1}
(
A
+
B
≠
0
)
{\displaystyle (A+B\neq 0)}
(
A
+
B
)
1
=
1
A
+
1
B
{\displaystyle (A+B)^{1}=1A+1B}
(
A
+
B
)
2
=
1
A
2
+
2
A
B
+
1
B
2
{\displaystyle (A+B)^{2}=1A^{2}+2AB+1B^{2}}
(
A
+
B
)
3
=
1
A
3
+
3
A
2
B
+
3
A
B
2
+
1
B
3
{\displaystyle (A+B)^{3}=1A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+1B^{3}}
(
A
+
B
)
4
=
1
A
4
+
4
A
3
B
+
6
A
2
B
2
+
4
A
B
3
+
1
B
4
{\displaystyle (A+B)^{4}=1A^{4}+4A^{3}B+6A^{2}B^{2}+4AB^{3}+1B^{4}}
Ta nhận thấy khi khai triển
(
A
+
B
)
n
{\displaystyle (A+B)^{n}}
A
n
{\displaystyle A^{n}}
B
n
{\displaystyle B^{n}}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Vì vậy:
(
A
+
B
)
n
=
B
(
A
)
+
B
n
=
A
n
+
B
(
B
)
{\displaystyle (A+B)^{n}=B(A)+B^{n}=A^{n}+B(B)}
Nếu viết riêng các hệ số bên phải, ta được bảng sau:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
................................
Ta nhận thấy từ hàng thứ hai trở đi một số bất kì ở trong tam giác đúng bằng tổng của số cùng cột trên một hàng và số trước một cột trên một hàng, cụ thể:
(0)
1
(0)
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
(0)
1
1
(0)
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
(0)
1
2
1
(0)
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
|
{\displaystyle |}
(0)
1
3
3
1
(0)
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
╲
{\displaystyle \diagdown }
|
{\displaystyle |}
(0)
1
4
6
4
1
sửa
Nếu một đa thức có nhiều hạng tử, nhóm lại với nhau mà phân tích thành nhân tử chung được thì nhóm chúng lại theo từng nhóm thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân tử. VD:
b
c
−
a
d
−
b
d
+
a
c
{\displaystyle bc-ad-bd+ac\,}
=
(
b
c
−
b
d
)
+
(
a
c
−
a
d
)
{\displaystyle =(bc-bd)+(ac-ad)\,}
=
b
.
(
c
−
d
)
+
a
.
(
c
−
d
)
{\displaystyle =b.(c-d)+a.(c-d)\,}
=
(
c
−
d
)
.
(
b
+
a
)
{\displaystyle =(c-d).(b+a)\,}
sửa
sửa
- Nếu đa thức có nghiệm là a thì đa thức đó phân tích được thành nhân tử mà một nhân tử là x-a.
1. Nhẩm nghiệm [ 3]
+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên thì đó phải là ước của hệ số tự do.
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì
f
(
1
)
a
−
1
{\displaystyle {\frac {f(1)}{a-1}}}
f
(
−
1
)
a
+
1
{\displaystyle {\frac {f(-1)}{a+1}}}
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2.
Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x+1.
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng
p
q
{\displaystyle {\frac {p}{q}}}
+ Tính chất : Nếu một đa thức
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
nghiệm
x
=
a
{\displaystyle x=a}
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)}
P
n
(
x
)
=
(
x
−
a
)
H
b
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)=(x-a)H_{b}(x)}
b
=
n
−
1
{\displaystyle b=n-1}
VD: PTĐT thành nhân tử:
P
=
P
(
x
)
=
x
2
(
y
−
z
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle P=P(x)=x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
P
(
y
)
=
0
{\displaystyle P(y)=0}
=>
y
{\displaystyle =>y}
P
=
P
(
x
)
{\displaystyle P=P(x)}
=>
P
=
P
(
x
)
=
(
x
−
a
)
H
b
(
x
)
{\displaystyle =>P=P(x)=(x-a)H_{b}(x)}
P
=
P
(
x
)
=
z
2
(
x
−
y
)
+
x
2
y
−
x
2
z
+
y
2
z
−
y
2
x
{\displaystyle P=P(x)=z^{2}(x-y)+x^{2}y-x^{2}z+y^{2}z-y^{2}x}
=
(
x
−
y
)
(
z
2
+
x
y
−
z
x
−
z
y
)
{\displaystyle =(x-y)(z^{2}+xy-zx-zy)}
=
(
x
−
y
)
[
z
(
z
−
x
)
−
y
(
z
−
x
)
{\displaystyle =(x-y)[z(z-x)-y(z-x)}
=
(
x
−
y
)
(
z
−
x
)
(
z
−
y
)
{\displaystyle =(x-y)(z-x)(z-y)}
H
b
(
x
)
{\displaystyle H_{b}(x)}
lược đồ Horner để xác định các hệ số của nó.
VD: Phân tích đa thức
P
(
x
)
=
x
3
−
x
2
−
7
x
+
3
{\displaystyle P(x)=x^{3}-x^{2}-7x+3}
Vì x=3 là nghiệm của đa thức nên đa thức có nhân tử là x-3. Để tìm nhân tử còn lại, ta có thể đặt phép chia như hình.
--
x
3
−
x
2
−
7
x
+
3
x
3
−
3
x
2
_
|
x
−
3
_
x
2
+
2
x
−
1
--
2
x
2
−
7
x
+
3
2
x
2
−
6
x
_
--
−
x
+
3
−
x
+
3
_
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {{\text{--}}{\begin{aligned}&x^{3}-\ \ x^{2}-7x\ +3\\&x^{3}-3x^{2}\end{aligned}}}}\left\vert {\begin{aligned}&{\underline {x-3\qquad }}\\&x^{2}+2x-1\end{aligned}}\right.\\&\qquad \ {\underline {{\text{--}}{\begin{aligned}&2x^{2}-7x\ +3\\&2x^{2}-6x\end{aligned}}}}\\&\qquad \qquad \ \ {\underline {{\text{--}}{\begin{aligned}&-x+3\\&-x+3\end{aligned}}}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \ \,0\end{aligned}}}
Chia đa thức
P
(
x
)
=
x
3
−
x
2
−
7
x
−
3
{\displaystyle P(x)=x^{3}-x^{2}-7x-3}
cho
x
−
3
{\displaystyle x-3}
Vậy
P
(
x
)
=
(
x
−
3
)
(
x
2
+
2
x
−
1
)
{\displaystyle P(x)=(x-3)(x^{2}+2x-1)}
Ngoài ra có thể xác định hệ số của nhân tử cần tìm bằng lược đồ Horner như sau:
2. Biệt số delta Δ (Áp dụng với các tam thức bậc hai) [ 4]
Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Gọi Δ = b2 - 4ac
Nếu Δ
≥
{\displaystyle \geq }
Δ
>
{\displaystyle >}
x
1
=
−
b
−
Δ
2
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
x
2
=
−
b
+
Δ
2
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
f
(
x
)
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
{\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})}
Δ
=
{\displaystyle =}
x
0
=
−
b
2
a
{\displaystyle x_{0}={\frac {-b}{2a}}}
f
(
x
)
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
{\displaystyle f(x)=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}}
Nếu Δ
<
{\displaystyle <}
Ngoài ra để phân tích f(x) thành nhân tử, ta tách hệ số b như sau:
ax2 + bx + c = ax2 + b1 x + b2 x + c với
{
b
1.
b
2
=
a
c
b
1
+
b
2
=
b
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}b1.b2=ac\\b1+b2=b\\\end{matrix}}\right.}
sửa
VD 1: PTĐT sau thành nhân tử:
x
2
(
y
−
z
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}
Ta có:
x
2
(
y
−
z
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}
=
x
2
[
(
−
z
+
x
)
+
(
y
−
x
)
]
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle =x^{2}[(-z+x)+(y-x)]+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}
=
x
2
(
x
−
z
)
+
x
2
(
y
−
x
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle =x^{2}(x-z)+x^{2}(y-x)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}
=
(
x
−
z
)
(
x
2
−
y
2
)
+
(
x
−
y
)
(
z
2
−
x
2
)
{\displaystyle =(x-z)(x^{2}-y^{2})+(x-y)(z^{2}-x^{2})}
=
(
x
−
z
)
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
+
(
x
−
y
)
(
z
−
x
)
(
z
+
x
)
{\displaystyle =(x-z)(x-y)(x+y)+(x-y)(z-x)(z+x)}
=
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
(
x
+
y
−
z
−
x
)
{\displaystyle =(x-y)(x-z)(x+y-z-x)}
=
(
x
−
y
)
(
x
−
z
)
(
y
−
z
)
{\displaystyle =(x-y)(x-z)(y-z)}
sửa
Các đa thức có dạng
x
3
m
+
1
+
x
3
n
+
2
+
1
{\displaystyle x^{3m+1}+x^{3n+2}+1}
(
m
,
n
∈
N
)
{\displaystyle (m,n\in \mathbb {N} )}
x
7
+
x
2
+
1
{\displaystyle x^{7}+x^{2}+1}
x
7
+
x
5
+
1
{\displaystyle x^{7}+x^{5}+1}
x
8
+
x
4
+
1
{\displaystyle x^{8}+x^{4}+1}
x
5
+
x
+
1
{\displaystyle x^{5}+x+1}
x
8
+
x
+
1
{\displaystyle x^{8}+x+1}
x
2
+
x
+
1
{\displaystyle x^{2}+x+1}
VD: Ở đây
sửa
[ 3]
x
4
+
x
2
+
1
{\displaystyle x^{4}+x^{2}+1\,}
=
x
4
+
2
x
2
+
1
−
x
2
{\displaystyle =x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}\,}
=
(
x
2
+
1
)
2
−
x
2
{\displaystyle =(x^{2}+1)^{2}-x^{2}\,}
=
(
x
2
−
x
+
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
{\displaystyle =(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)\,}
VD: PTĐT sau thành nhân tử
A =
(
x
+
1
)
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
(
x
+
4
)
−
15
{\displaystyle (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-15}
A
=
[
(
x
+
1
)
(
x
+
4
)
]
[
(
x
+
3
)
(
x
+
2
)
]
−
15
{\displaystyle =[(x+1)(x+4)][(x+3)(x+2)]-15}
=
(
x
2
+
5
x
+
4
)
(
x
2
+
5
x
+
6
)
−
15
{\displaystyle =(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)-15}
Đặt
y
=
x
2
+
5
x
+
5
{\displaystyle y=x^{2}+5x+5}
A
=
(
y
−
1
)
(
y
+
1
)
−
15
{\displaystyle =(y-1)(y+1)-15}
=
y
2
−
1
−
15
{\displaystyle =y^{2}-1-15}
=
y
2
−
16
{\displaystyle =y^{2}-16}
=
(
y
−
4
)
(
y
+
4
)
{\displaystyle =(y-4)(y+4)}
=
(
x
2
+
5
x
+
1
)
(
x
2
+
5
x
+
9
)
{\displaystyle =(x^{2}+5x+1)(x^{2}+5x+9)}
Trong bài toán trên ta đã đổi đa thức biến x trên thành đa thức biến y. Vì vậy, phương pháp trên được gọi là phương pháp đổi biến.
sửa
VD: PTĐT sau thành nhân tử:
A =
x
2
(
y
−
z
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
{\displaystyle x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}
Thay x = y ta có: A = 0
Do đó: x = y là một nghiệm của đa thức trên hay đa thức trên chứa nhân tử x-y.
Lại có x, y, z có vai trò bình đẳng nên
A =
a
(
x
−
y
)
(
y
−
z
)
(
z
−
x
)
{\displaystyle a(x-y)(y-z)(z-x)}
Vì A là 1 đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z và (x - y)(y - z)(z - x) là 1 đat thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z nên a là 1 hằng số.
Vì
x
2
(
y
−
z
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
=
a
(
x
−
y
)
(
y
−
z
)
(
z
−
x
)
{\displaystyle x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=a(x-y)(y-z)(z-x)}
∀
{\displaystyle \forall }
Chẳng hạn x=1, y=0, z=-1 ta có:
1
2
(
0
+
1
)
+
0
2
(
−
1
−
1
)
+
(
−
1
)
2
(
1
−
0
)
=
k
(
0
+
1
)
(
−
1
−
1
)
(
1
−
0
)
{\displaystyle 1^{2}(0+1)+0^{2}(-1-1)+(-1)^{2}(1-0)=k(0+1)(-1-1)(1-0)}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
2
=
−
2
a
{\displaystyle 2=-2a}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
a
=
−
1
{\displaystyle a=-1}
Vậy
x
2
(
y
−
z
)
+
y
2
(
z
−
x
)
+
z
2
(
x
−
y
)
=
−
(
x
−
y
)
(
y
−
z
)
(
z
−
x
)
{\displaystyle x^{2}(y-z)+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)=-(x-y)(y-z)(z-x)}
sửa
Với mọi x, y, z thực ta luôn có:3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + y)3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)Hệ quả:x + y + z = 0 hoặc x = y = z = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz
sửa
VD: PTĐT sau thành 2 tam thức có hệ số nguyên:
A =
x
4
−
3
x
3
+
6
x
2
−
5
x
+
3
{\displaystyle x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-5x+3}
Đặt A =
(
x
2
+
a
x
+
1
)
(
x
2
+
b
x
+
3
)
{\displaystyle (x^{2}+ax+1)(x^{2}+bx+3)}
⇒
x
4
−
3
x
3
+
6
x
2
−
5
x
+
3
=
x
4
+
(
a
+
b
)
x
3
+
(
4
+
a
b
)
x
2
+
(
3
a
+
b
)
x
+
3
{\displaystyle \Rightarrow x^{4}-3x^{3}+6x^{2}-5x+3=x^{4}+(a+b)x^{3}+(4+ab)x^{2}+(3a+b)x+3}
Đồng nhất hệ số ta có:
{
a
+
b
=
−
3
4
+
a
b
=
6
3
a
+
b
=
−
5
⇔
{
a
=
−
1
b
=
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}a+b=-3\\4+ab=6\\3a+b=-5\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}a=-1\\b=-2\end{cases}}}
Vậy A =
(
x
2
−
x
+
1
)
(
x
2
−
2
x
+
3
)
{\displaystyle (x^{2}-x+1)(x^{2}-2x+3)}
![{\displaystyle =x^{2}[(-z+x)+(y-x)]+y^{2}(z-x)+z^{2}(x-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b071abb17222d4243c01cf11a49306a2920748ca)
![{\displaystyle =[(x+1)(x+4)][(x+3)(x+2)]-15}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a774bd65083333589007624f846b9e952fab74a)
