Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng có chung bờ là một đường thẳng. Mỗi nửa mặt phẳng đó gọi là một mặt của nhị diện và đường thẳng chung gọi là cạnh của nhị diện
Nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (α), (β) có chung bờ là a được kí hiệu là [α, a, β] hoặc là [α, β] hoặc [a] nếu không sợ bị nhầm với nhị diện khác. Nếu a chứa tia Ox thì ta cũng nói Ox là cạnh của nhị diện
Cắt nhị diện [α, a, β] bởi mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O. Giao tuyến của (P) với (α) và (β) lần lượt là hai tia Ox và Oy. Khi đó
x
O
y
^
{\displaystyle {\widehat {xOy}}}
Số đo góc của nhị diện [α, a, β] cũng được kí hiệu là [α, β] hoặc đơn giản là [a] nếu không cần phân biệt
Từ I
∈
{\displaystyle \in }
∈
{\displaystyle \in }
∉
{\displaystyle \not \in }
⊥
{\displaystyle \perp }
⊥
{\displaystyle \perp }
H
I
→
,
K
J
→
{\displaystyle {\overrightarrow {HI}},{\overrightarrow {KJ}}}
sửa
Cho 3 tia Ox, Oy, Oz trong đó
y
O
z
^
=
α
{\displaystyle {\widehat {yOz}}=\alpha }
x
O
z
^
=
β
{\displaystyle {\widehat {xOz}}=\beta }
x
O
y
^
=
γ
{\displaystyle {\widehat {xOy}}=\gamma }
α
′
{\displaystyle \alpha '}
c
o
s
α
′
=
c
o
s
α
−
c
o
s
β
.
c
o
s
γ
s
i
n
β
.
s
i
n
γ
{\displaystyle cos\alpha '={\frac {cos\alpha -cos\beta .cos\gamma }{sin\beta .sin\gamma }}}
Chứng minh: Trên các tia Ox, Oy, Oz lần lượt lấy 3 điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = 1. Khi đó
O
A
→
=
i
→
,
O
B
→
=
j
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {i}},{\overrightarrow {OB}}={\vec {j}}}
O
C
→
=
k
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\vec {k}}}
Kẻ các đường cao BH, CK của hai tam giác OAB, OAC. Ta có:
j
→
.
k
→
=
c
o
s
α
{\displaystyle {\vec {j}}.{\vec {k}}=cos\alpha }
i
→
.
k
→
=
c
o
s
β
{\displaystyle {\vec {i}}.{\vec {k}}=cos\beta }
i
→
.
j
→
=
c
o
s
γ
{\displaystyle {\vec {i}}.{\vec {j}}=cos\gamma }
c
o
s
β
=
O
K
¯
{\displaystyle cos\beta ={\overline {OK}}}
c
o
s
γ
=
O
H
¯
{\displaystyle cos\gamma ={\overline {OH}}}
s
i
n
β
=
C
K
{\displaystyle sin\beta =CK}
s
i
n
γ
=
B
H
{\displaystyle sin\gamma =BH}
Từ đó suy ra:
H
B
→
=
O
B
→
−
O
H
→
=
j
→
−
O
H
¯
.
i
→
=
j
→
−
c
o
s
γ
.
i
→
{\displaystyle {\overrightarrow {HB}}={\overrightarrow {OB}}-{\overrightarrow {OH}}={\vec {j}}-{\overline {OH}}.{\vec {i}}={\vec {j}}-cos\gamma .{\vec {i}}}
K
C
→
=
O
C
→
−
O
K
→
=
k
→
−
O
K
¯
.
i
→
=
k
→
−
c
o
s
β
.
i
→
{\displaystyle {\overrightarrow {KC}}={\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OK}}={\vec {k}}-{\overline {OK}}.{\vec {i}}={\vec {k}}-cos\beta .{\vec {i}}}
Vậy:
c
o
s
α
′
=
H
B
→
.
K
C
→
B
H
.
C
K
=
(
j
→
−
c
o
s
γ
.
i
→
)
(
k
→
−
c
o
s
β
.
i
→
)
s
i
n
β
.
s
i
n
γ
=
c
o
s
α
−
c
o
s
β
.
c
o
s
γ
s
i
n
β
.
s
i
n
γ
{\displaystyle cos\alpha '={\frac {{\overrightarrow {HB}}.{\overrightarrow {KC}}}{BH.CK}}={\frac {({\vec {j}}-cos\gamma .{\vec {i}})({\vec {k}}-cos\beta .{\vec {i}})}{sin\beta .sin\gamma }}={\frac {cos\alpha -cos\beta .cos\gamma }{sin\beta .sin\gamma }}}
