Nhóm đồng luân của các hình cầu

Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các nhóm đồng luân của hình cầu là các bất biến mô tả, một cách đại số, những cách mà các hình cầu $n$ chiều và $k$ chiều có thể quấn quanh nhau. Khái niệm này, vốn ban đầu được xác định cho các mặt cầu 1 chiều (vòng tròn) và 2 chiều (hình cầu), được khái quát cho các mặt cầu $n$ chiều.

Định nghĩa

Nhóm đồng luân bậc $j$ của hình cầu $n$ chiều $\mathbb {S} ^{n}$ , là tập hợp, ký hiệu $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=[\mathbb {S} ^{j}\to \mathbb {S} ^{n}]$ , các lớp đồng luân của các hàm liên tục giữa hai hình cầu sao cho một điểm cố định của hình cầu $\mathbb {S} ^{j}$ được gửi tới một điểm cố định của hình cầu $\mathbb {S} ^{n}$ (gọi là hai điểm cơ sở).

Tập hợp $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})$ có thể được trang bị một cấu trúc nhóm abel.

Nếu $j<n$ , nhóm này là nhóm tầm thường: $\pi _{j}(\mathbb {S} ^{n})=\{0\}$ .

Nếu $j=n$ , ta có $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$ (có thể chứng minh bằng định lý Hurewicz).

1 chiều: các nhóm đồng luân của đường tròn

Ta có:

$\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z}$ ;
$\pi _{q}(\mathbb {S} ^{1})=0\quad$ với $\quad q\geq 2$ .

2 chiều và 3 chiều

Các hình cầu có ít nhất hai chiều là đơn liên, nói riêng:

\pi _{1}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{1}(\mathbb {S} ^{3})=0

Với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng 3, ta có: $\pi _{2}(\mathbb {S} ^{n})=0$ , nói riêng:

\pi _{2}(\mathbb {S} ^{3})=0

Với mọi $n$ , ta có: $\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z}$ , nói riêng:

\pi _{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z}

,

\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}

.

Biểu diễn ba chiều của một phần thành thớ Hopf

Thành thớ Hopf

F=S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}=B\,\!

cho ta một dãy khớp đồng luân,

\pi _{i}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{3})\to \pi _{i}(S^{2})\to \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i-1}(S^{3})\,\cdots

Từ $\pi _{1}(\mathbb {S} ^{1})=\mathbb {Z}$ và với $i\geq 2$ , $\pi _{i}(\mathbb {S} ^{1})=0$ ta có một đẳng cấu

\pi _{i}(\mathbb {S} ^{3})\simeq \pi _{i}(\mathbb {S} ^{2})

với

i\geq 3

,

nói riêng

\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}

Với các nhóm đồng luân bậc cao hơn, nhiều kỹ thuật khác cho ta các kết quả sau

$\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)$
$\pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(2)$
$\pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)$

**Các nhóm đồng luân của $\mathbb {S} ^{3}$ và $\mathbb {S} ^{2}$**
$k$	3	4	5	6	7	số 8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})$	Z	Z₂		Z₁₂	Z₂		Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆	Z₃₀		Z₂×Z₆	Z₂²×Z₁₂		Z₂²×Z₁₃₂

Chiều cao hơn

Bảng

Tính toán các nhóm đồng luân của các hình cầu nói chung là phức tạp. Bảng sau tóm gọn lại kết quả thu được.

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅	π₁₆
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆
S³	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆
S⁴	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z×Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀×Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵	Z₂⁶
S⁵	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₂²
S⁶	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂
S⁷	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³	Z₂⁴
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z×Z₁₂₀	Z₂⁴
S⁹	0	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀

Ổn định khi số chiều lớn

Bảng đồng luân của $\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ dễ nhìn hơn:

Sⁿ	π_n	π_n+1	π_n+2	π_n+3	π_n+4	π_n+5	π_n+6	π_n+7	π_n+8	π_n+9	π_n+10	π_n+11	π_n+12	π_n+13	π_n+14	π_n+15
S¹	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	Z	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆	Z₃₀
S³	Z	Z₂	Z₂	Z₁₂	Z₂	Z₂	Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂²	Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂²	Z₂²	Z₆	Z₃₀	Z₃₀
S⁴	Z	Z₂	Z₂	Z×Z₁₂	Z₂²	Z₂²	Z₂₄×Z₃	Z₁₅	Z₂	Z₂³	Z₁₂₀×Z₁₂×Z₂	Z₈₄×Z₂⁵	Z₂⁶	Z₂₄×Z₆×Z₂	Z₂₅₂₀×Z₆×Z₂	Z₃₀
S⁵	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	Z₂	Z₂	Z₂	Z₃₀	Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₂²	Z₂³	Z₆×Z₂	Z₆×Z₂	Z₃₀×Z₂
S⁶	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	Z	Z₂	Z₆₀	Z₂₄×Z₂	Z₂³	Z₇₂×Z₂	Z₅₀₄×Z₄	Z₂₄₀	Z₆	Z₁₂×Z₂	Z₆₀×Z₆
S⁷	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₁₂₀	Z₂³	Z₂⁴	Z₂₄×Z₂	Z₅₀₄×Z₂	0	Z₆	Z₂₄×Z₄	Z₁₂₀×Z₂³
S⁸	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z×Z₁₂₀	Z₂⁴	Z₂⁵	Z₂₄²×Z₂	Z₅₀₄×Z₂	0	Z₆×Z₂	Z₂₄₀×Z₂₄×Z₄	Z₁₂₀×Z₂⁵
S⁹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂³	Z₂⁴	Z₂₄×Z₂	Z₅₀₄×Z₂	0	Z₆	Z₁₆×Z₄	Z₂₄₀×Z₂³
S¹⁰	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z×Z₂³	Z₁₂×Z₂	Z₅₀₄	Z₁₂	Z₆	Z₁₆×Z₂	Z₂₄₀×Z₂²
S¹¹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆×Z₂	Z₅₀₄	Z₂²	Z₆×Z₂	Z₁₆×Z₂	Z₂₄₀×Z₂
S¹²	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z×Z₅₀₄	Z₂	Z₆×Z₂	Z₄₈×Z₄×Z₂	Z₂₄₀×Z₂
S¹³	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₆	Z₁₆×Z₂	Z₄₈₀×Z₂
S¹⁴	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z×Z₃	Z₈×Z₂	Z₄₈₀×Z₂
S¹⁵	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₄×Z₂	Z₄₈₀×Z₂
S¹⁶	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z×Z₄₈₀×Z₂
S¹⁷	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀×Z₂
S¹⁸	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀×Z₂
S¹⁹	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀×Z₂

Với số chiều đủ lớn, ta có

$\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$ (cột đầu tiên màu vàng của bảng trên)
$\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3$ (cột thứ hai - màu tím - của bảng trên)
$\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2$ (cột thứ ba - màu lam - của bảng trên)

Hóa ra là $\Gamma _{k}=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ không phụ thuộc vào $n$ với $n$ đủ lớn. Hiện tượng này được gọi là sự ổn định. Nó xuất phát từ định lý suspension Freudenthal sau đây:

Các đồng cấu suspension $S:\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})\to \pi _{n+k+1}(\mathbb {S} ^{n+1})$ là một đẳng cấu với $n\geq k+2$
và là một toàn cấu (theo nghĩa một đồng cấu toàn ánh) với $n=k+1$ .

Danh sách các nhóm đồng luân ổn định

Các nhóm ổn định đầu tiên $\Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})=\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n}),\quad n\geq k+2$ là như sau:

$\Gamma _{-j}=\pi _{n-j}(\mathbb {S} ^{n})=0,$
$\Gamma _{0}=\pi _{n}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} ,\quad n\geq 1$
$\Gamma _{1}=\pi _{n+1}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 3$
$\Gamma _{2}=\pi _{n+2}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 2$
$\Gamma _{3}=\pi _{n+3}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(24),\quad n\geq 5$
$\Gamma _{4}=\pi _{n+4}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 6$
$\Gamma _{5}=\pi _{n+5}(\mathbb {S} ^{n})=0,\quad n\geq 7$
$\Gamma _{6}=\pi _{n+6}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 5$
$\Gamma _{7}=\pi _{n+7}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(240),\quad n\geq 9$
$\Gamma _{8}=\pi _{n+8}(\mathbb {S} ^{n})=\mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(2),\quad n\geq 10$

Các nhóm đồng luân ổn định là hữu hạn ngoại trừ $k=0$ .

**Nhóm đồng luân ổn định** $\ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})$ với $k$ nhỏ hơn 23
$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	số 8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
$\Gamma _{k}$	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄	0	0	Z₂	Z₂₄₀	Z₂²	Z₂³	Z₆	Z₅₀₄	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀⊕Z₂	Z₂²	Z₂⁴	Z₈⊕Z₂	Z₂₆₄⊕Z₂	Z₂₄	Z₂²	Z₂²

Từ $k=23$ , $\Gamma _{k}$ trở nên phức tạp, ví dụ:

\Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{65520}\oplus \mathbb {Z} _{24}\oplus \mathbb {Z} _{2}

\Gamma _{23}=\mathbb {Z} _{16}\oplus \mathbb {Z} _{8}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{9}\oplus \mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{5}\oplus \mathbb {Z} _{7}\oplus \mathbb {Z} _{13}

**Nhóm đồng luân ổn định** $\ \Gamma _{k}=\pi _{2k+2}(\mathbb {S} ^{k+2})$ với $k$ nhỏ hơn 60
$k$	0	1	2	3	4	5	6	7
$\Gamma _{k}$	Z	Z₂	Z₂	Z₂₄=Z₈⊕Z₃	0	0	Z₂	Z₂₄₀ =Z₁₆⊕Z₃⊕Z₅
$k$	8	9	10	11	12	13	14	15
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂³	Z₆=Z₂⊕Z₃	Z₅₀₄ =Z₈⊕Z₉⊕Z₇	0	Z₃	Z₂²	Z₄₈₀⊕Z₂ =Z₃₂⊕Z₂⊕Z₃⊕Z₅
$k$	16	17	18	19	20	21	22	23
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂⁴	Z₈⊕Z₂	Z₂₆₄⊕Z₂ =Z₈⊕Z₂⊕Z₃⊕Z₁₁	Z₂₄	Z₂²	Z₂²	Z₁₆⊕Z₈⊕Z₂ ⊕Z₉⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₇⊕Z₁₃
$k$	24	25	26	27	28	29	30	31
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂²	Z₂²⊕Z₃	Z₂₄=Z₈⊕Z₃	Z₂	Z₃	Z₆=Z₂⊕Z₃	Z₆₄⊕Z₂²⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₁₇
$k$	32	33	34	35	36	37	38	39
$\Gamma _{k}$	Z₂⁴	Z₂⁵	Z₄⊕Z₂³	Z₈⊕Z₂²⊕Z₂₇ ⊕Z₇⊕Z₁₉	Z₆=Z₂⊕Z₃	Z₂²⊕Z₃	Z₂⊕Z₆₀= Z₂⊕Z₄⊕Z₃⊕Z₅	Z₁₆⊕Z₂⁵⊕Z₃²⊕Z₂₅⊕Z₁₁
$k$	40	41	42	43	44	45	46	47
$\Gamma _{k}$	Z₂⁵⊕Z₄⊕Z₃	Z₂⁵	Z₈⊕Z₂²⊕Z₃	Z₅₅₂ =Z₈⊕Z₃⊕Z₂₃	Z₈	Z₁₆⊕Z₂³ ⊕Z₉⊕Z₅	Z₂⁴⊕Z₃	Z₃₂⊕Z₄⊕Z₂³ ⊕Z₉⊕Z₃ ⊕Z₅⊕Z₇⊕Z₁₃
$k$	48	49	50	51	52	53	54	55
$\Gamma _{k}$	Z₂⁴⊕Z₄	Z₂²⊕Z₃	Z₃⊕Z₂³	Z₈⊕Z₄⊕Z₂²⊕Z₃	Z₂³⊕Z₃	Z₂⁴	Z₄⊕Z₂	Z₁₆⊕Z₃²⊕Z₅⊕Z₂₉
$k$	56	57	58	59	60	61	62	63
$\Gamma _{k}$	Z₂²	Z₂⁴	Z₂²	Z₈⊕Z₂²⊕Z₉ ⊕Z₇⊕Z₁₁⊕Z₃₁	Z₄

Các nhóm đồng luân không ổn định

Một số nhóm đồng luân không ổn định:

Với chiều 2 và 3 ( $\pi _{k}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{k}(\mathbb {S} ^{3})$ ):
- $\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{3}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z}$
- $\pi _{5}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{5}(\mathbb {S} ^{3})=\pi _{4}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} /(2)$
- $\pi _{6}(\mathbb {S} ^{2})=\pi _{6}(\mathbb {S} ^{3})=\mathbb {Z} /(12)$
Với chiều 4: $\pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})=\mathbb {Z} /(12)\oplus \mathbb {Z}$

Nhóm đồng luân vô hạn

Các nhóm đồng luân ổn định $\pi _{n+k}(\mathbb {S} ^{n})$ là hữu hạn ngoại trừ $k=0$ (( $\Gamma _{0}=\mathbb {Z}$ ).

Các nhóm đồng luân không ổn định là hữu hạn ngoại trừ các nhóm $\pi _{4p-1}(\mathbb {S} ^{2p})$ (với p > 0). Những nhóm này $\pi _{3}(\mathbb {S} ^{2})$ , $\pi _{7}(\mathbb {S} ^{4})$ , $\pi _{11}(\mathbb {S} ^{6})$ ,...) đẳng cấu với tổng trực tiếp của $\mathbb {Z}$ và một nhóm hữu hạn.

Tham khảo

Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, tomes 2 et 3
Claude Godbillon, Éléments de topologie algébrique
Fabien Morel, «Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques», trong Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, vol. 3, Cassini, 2007