Ma trận liên thuộc

Trong lý thuyết đồ thị, ta có thể biểu diễn 1 đồ thị G=(V,E) [có hướng hay vô hướng] thành một ma trận liên thuộc (incidence matrix).

Định nghĩa

Có hướng

—Nếu G là đồ thị có hướng không có khuyên, ma trận liên thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh) của đồ thị G, ký hiệu A(G), là ma trận n*m (n: số đỉnh, m: số cạnh) được định nghĩa là A = (A_ij) với quy ước:

    * Aij = 1 nếu cạnh j hướng ra khỏi đỉnh i 
    * Aij = -1 nếu cạnh j hướng vào đỉnh i. 
    * Aij = 0 nếu cạnh j không kề đỉnh i.

Vô hướng

—Nếu G là đồ thị vô hướng không có khuyên, ma trận liên thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh) của đồ thị G, ký hiệu A(G), là ma trận n*m (n: số đỉnh, m: số cạnh) được định nghĩa là A = (A_ij) với quy ước:

    * Aij = 1 nếu đỉnh i kề với cạnh j. 
    * Aij = 0 nếu ngược lại.

Bậc Đồ Thị Dựa Vào Bảng Ma Trận

Có hướng

• Tổng bậc ra (+) của các đỉnh = Tổng bậc vào (-) của các đỉnh = Đỉnh. Ký hiệu: Σdeg^-(v) = Σdeg⁺(v) = |E|, trong đó |E| là số cạnh của đồ thị

(Trong minh họa hình trên: 7_(-1) = 7₍₊₁₎ = 7)

• Tổng bậc của tất cả các đỉnh = 2 lần số cạnh. Ký hiệu: Σdeg(v) = 2|E|

(Trong minh họa hình trên: 7_(-1) + 7₍₊₁₎ = 7*2)

Vô hướng

• Tổng bậc của tất cả các đỉnh = 2 lần số cạnh. Ký hiệu: Σdeg(v) = 2|E|

(Trong minh họa hình trên: 14₍₁₎ = 7*2 )

Ví dụ:Nếu một đồ thị có 6 đỉnh bậc 3,2 đỉnh bậc 4,4 đỉnh bậc 5(tổng cộng 12 đỉnh) thì đồ thị có bao nhiêu cạnh?

Số cạnh 2|E|=6x3+2x4+4x5=46$\Rightarrow$ |E|=23

• Hệ quả:Số lượng các đỉnh bậc lẻ trong một đồ thị bất kì là số chẵn

Nhận xét

• Trong ma trận của đồ thị có hướng tổng bậc ra của các đỉnh = Tổng bậc vào của các đỉnh = Đỉnh.
• Trong ma trận của đồ thị vô hướng tổng bậc của tất cả các đỉnh = 2 lần số cạnh.
• Ưu điểm:
  • Đồ thị có cạnh song song
  • Ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh sẽ tiết kiệm bộ nhớ hơn khi đồ thị có ít cạnh/cung.
• Khuyết điểm:
  • Biểu diễn phức tạp

Tham khảo

• Diestel, Reinhard (2005), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics 173 (3rd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-26183-4.
• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Section 9.2 Incidence matrices, pp. 166–171)
• Jonathan L Gross, Jay Yellen, Graph Theory and its applications, second edition, 2006 (p 97, Incidence Matrices for undirect graphs; p 98, incidence matrices for digraphs)
• Weisstein, Eric W., "Incidence matrix" from MathWorld.