Trong toán học và vật lý lý thuyết , các ma trận Pauli là ba ma trận có kích thước 2 × 2 :
X
=
[
0
1
1
0
]
{\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}}
Y
=
[
0
−
i
i
0
]
{\displaystyle Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}}
Z
=
[
1
0
0
(
−
1
)
]
{\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&(-1)\end{bmatrix}}}
Ở đây i là đơn vị ảo . Các ma trận này được đặt tên theo nhà vật lý Wolfgang Pauli . Trong cơ học lượng tử , các ma trận này xuất hiện trong phương trình Pauli , thể hiện sự tương tác của các spin của một hạt với một trường điện từ bên ngoài. Trong tính toán lượng tử , các ma trận Pauli là các ma trận của các toán tử Pauli , hay cổng Pauli , gồm cổng Pauli X , ứng với toán tử
σ
x
^
{\displaystyle {\hat {\sigma _{x}}}}
cổng Pauli Y , ứng với toán tử
σ
y
^
{\displaystyle {\hat {\sigma _{y}}}}
cổng Pauli Z , ứng với toán tử
σ
z
^
{\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}}
Hermite và unitary .
Các ma trận Pauli cùng với ma trận đơn vị I (còn được coi là ma trận Pauli thứ 0 σ 0 hệ cơ sở cho không gian vectơ của các ma trận 2 × 2 Hermite.
Mỗi toán tử Hermite đều đại diện cho một đại lượng vật lý nào đó, vì vậy các ma trận Pauli σ k không gian Hilbert phức 2 chiều, đại diện cho các đại lượng vật lý tương ứng, là thành phần spin chiếu dọc theo trục k trong không gian ba chiều Ơ clít ℝ3 .
sửa
Các ma trận Pauli (sau khi nhân với i - đơn vị ảo, trở thành anti-Hermitian ), sẽ tạo ra các biến đổi của đại số Lie : các ma trận iσ 1 , iσ 2 , iσ 3 SU(2) . Đại số học được tạo ra bởi ba ma trận σ 1 , σ 2 , σ 3 đại số Clifford của ℝ3 , và được gọi là đại số của không gian vật lý. Ta có thể biểu diễn như sau:
σ
a
=
(
δ
a
3
δ
a
1
−
i
δ
a
2
δ
a
1
+
i
δ
a
2
−
δ
a
3
)
{\displaystyle \sigma _{a}={\begin{pmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{pmatrix}}}
Từ đó tính được:
σ
1
2
=
σ
2
2
=
σ
3
2
=
−
i
σ
1
σ
2
σ
3
=
(
1
0
0
1
)
=
I
{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
(Với I ma trận đơn vị )
det
σ
i
=
−
1
,
Tr
σ
i
=
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{i}&=-1,\\\operatorname {Tr} \sigma _{i}&=0.\end{aligned}}}
Giá trị riêng của từng ma trận σ i ±1
Vecto riêng tương ứng lần lượt là:
ψ
x
+
=
1
2
(
1
1
)
,
ψ
x
−
=
1
2
(
1
−
1
)
,
ψ
y
+
=
1
2
(
1
i
)
,
ψ
y
−
=
1
2
(
1
−
i
)
,
ψ
z
+
=
(
1
0
)
,
ψ
z
−
=
(
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&&\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},\\&\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},\\&\psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&\psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}
Vecto Pauli được định nghĩa như sau:
σ
→
=
σ
1
x
^
+
σ
2
y
^
+
σ
3
z
^
{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}
Và cung cấp một cơ chế ánh xạ từ một cơ sở vector đến một cơ sở ma trận Pauli [2]
a
→
⋅
σ
→
=
(
a
i
x
^
i
)
⋅
(
σ
j
x
^
j
)
=
a
i
σ
j
x
^
i
⋅
x
^
j
=
a
i
σ
j
δ
i
j
=
a
i
σ
i
=
(
a
3
a
1
−
i
a
2
a
1
+
i
a
2
−
a
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}\\&=a_{i}\sigma _{i}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
Từ đó ta có:
det
a
→
⋅
σ
→
=
−
a
→
⋅
a
→
=
−
|
a
→
|
2
,
{\displaystyle \det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2},}
1
2
t
r
[
(
a
→
⋅
σ
→
)
σ
→
]
=
a
→
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {tr} [({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}){\vec {\sigma }}]={\vec {a}}.}
Tính được vectơ riêng là:
ψ
+
=
(
a
3
+
|
a
→
|
a
1
+
i
a
2
)
;
ψ
−
=
(
i
a
2
−
a
1
a
3
+
|
a
→
|
)
.
{\displaystyle \psi _{+}={\begin{pmatrix}a_{3}+|{\vec {a}}|\\a_{1}+ia_{2}\end{pmatrix}};\qquad \psi _{-}={\begin{pmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{pmatrix}}.}
Các ma trận Pauli có tính giao hoán . Cụ thể:
[
σ
a
,
σ
b
]
=
2
i
ε
a
b
c
σ
c
,
{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\,,}
và phi giao hoán:
{
σ
a
,
σ
b
}
=
2
δ
a
b
I
.
{\displaystyle \{\sigma _{a},\sigma _{b}\}=2\delta _{ab}\,I.}
Xét các ví dụ sau:
[
σ
1
,
σ
2
]
=
2
i
σ
3
[
σ
2
,
σ
3
]
=
2
i
σ
1
[
σ
3
,
σ
1
]
=
2
i
σ
2
[
σ
1
,
σ
1
]
=
0
{
σ
1
,
σ
1
}
=
2
I
{
σ
1
,
σ
2
}
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\,\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\,\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\,\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\,.\\\end{aligned}}}
sửa
Các vectơ Pauli thiết lập các mối quan hệ giao hoán và phi giao hoán dựa trên phép nhân vectơ.
[
σ
a
,
σ
b
]
+
{
σ
a
,
σ
b
}
=
(
σ
a
σ
b
−
σ
b
σ
a
)
+
(
σ
a
σ
b
+
σ
b
σ
a
)
2
i
ε
a
b
c
σ
c
+
2
δ
a
b
I
=
2
σ
a
σ
b
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned}}}
vậy nên,
σ
a
σ
b
=
i
ε
a
b
c
σ
c
+
δ
a
b
I
.
{\displaystyle \sigma _{a}\sigma _{b}=i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+\delta _{ab}I~.}
Mỗi vế của phương trình với các thành phần 3 -vector ap bq ap σq = σq ap )σq ap bq a , b , c → p , q , r
a
p
b
q
σ
p
σ
q
=
a
p
b
q
(
i
ε
p
q
r
σ
r
+
δ
p
q
I
)
a
p
σ
p
b
q
σ
q
=
i
ε
p
q
r
a
p
b
q
σ
r
+
a
p
b
q
δ
p
q
I
.
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{p}b_{q}\sigma _{p}\sigma _{q}&=a_{p}b_{q}\left(i\varepsilon _{pqr}\,\sigma _{r}+\delta _{pq}I\right)\\a_{p}\sigma _{p}b_{q}\sigma _{q}&=i\varepsilon _{pqr}\,a_{p}b_{q}\sigma _{r}+a_{p}b_{q}\delta _{pq}I~.\end{aligned}}}
Cuối cùng, ta quy ước ký hiệu tích vô hướng và tích có hướng . Kết quả như sau:
(
a
→
⋅
σ
→
)
(
b
→
⋅
σ
→
)
=
(
a
→
⋅
b
→
)
I
+
i
(
a
→
×
b
→
)
⋅
σ
→
{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\,I+i({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {\sigma }}}
(1 )
sửa
Cổng Pauli X còn được gọi là cổng NOT. Cổng này có ý nghĩa là tạo ra trang thái "ngược" với trạng thái |0> hoặc |1> đầu vào, tương đương với việc quay trạng thái qubit trên mặt cầu Bloch sang điểm đối diện với nó trên mặt cầu .
X
|
0
⟩
=
NOT
|
0
⟩
=
[
0
1
1
0
]
[
1
0
]
=
[
0
1
]
=
|
1
⟩
{\displaystyle X|0\rangle ={\mbox{NOT}}|0\rangle ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}=|1\rangle }
X
|
1
⟩
=
NOT
|
1
⟩
=
[
0
1
1
0
]
[
0
1
]
=
[
1
0
]
=
|
0
⟩
{\displaystyle X|1\rangle ={\mbox{NOT}}|1\rangle ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=|0\rangle }
Ba toán tử Pauli có mối liên hệ với nhau tương tự như ba toán tử thành phần mô men động lượng
L
x
^
{\displaystyle {\hat {L_{x}}}}
L
y
^
{\displaystyle {\hat {L_{y}}}}
L
z
^
{\displaystyle {\hat {L_{z}}}}
[
X
^
,
Y
^
]
=
2
i
Z
^
{\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {Y}}]=2i{\hat {Z}}}
Trong cơ học lượng tử, bộ ba toán tử nào liên hệ với nhau theo kiểu trên đều được coi như tương ứng với đại lượng mô men động lượng . Cụ thể các toán tử Pauli tương ứng với một dạng mô men động lượng đặc biệt của hệ vật chất gọi là spin . Toán tử X ứng với đại lượng vật lý spin theo trục X, toán tử Y ứng với spin theo trục Y, toán tử Z ứng với spin theo trục Z. Véc tơ spin là:
S
=
(
X
Y
Z
)
{\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}}}
Véc tơ riêng của Pauli Z là |0> và |1>, ứng với trị riêng 1 và -1:
Z
|
0
⟩
=
|
0
⟩
{\displaystyle Z|0\rangle =|0\rangle }
Z
|
1
⟩
=
−
|
1
⟩
{\displaystyle Z|1\rangle =-|1\rangle }
Véc tơ riêng của Pauli X là |+> và |->, ứng với trị riêng 1 và -1:
X
|
+
⟩
=
NOT
1
2
(
|
0
⟩
+
|
1
⟩
)
=
1
2
(
|
1
⟩
+
|
0
⟩
)
=
|
+
⟩
{\displaystyle X|+\rangle ={\mbox{NOT}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|0\rangle )=|+\rangle }
X
|
−
⟩
=
NOT
1
2
(
|
0
⟩
−
|
1
⟩
)
=
1
2
(
|
1
⟩
−
|
0
⟩
)
=
−
|
−
⟩
{\displaystyle X|-\rangle ={\mbox{NOT}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle -|0\rangle )=-|-\rangle }
Véc tơ riêng của Pauli Y là
1
2
(
|
0
⟩
+
i
|
1
⟩
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle )}
1
2
(
|
0
⟩
−
i
|
1
⟩
)
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )}
Y
1
2
(
|
0
⟩
+
i
|
1
⟩
)
=
1
2
(
|
0
⟩
+
i
|
1
⟩
)
{\displaystyle Y{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +i|1\rangle )}
Y
1
2
(
|
0
⟩
−
i
|
1
⟩
)
=
−
1
2
(
|
0
⟩
−
i
|
1
⟩
)
{\displaystyle Y{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -i|1\rangle )}
by Reinhold Blümel
Jones and Bartlett Learning © 2010 Citation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {tr} [({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}){\vec {\sigma }}]={\vec {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0b5b37b9c47ab06eeac5e5fdb58ad36ef7dd02)
![{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312dc3abb361b6f5a95c3e986495c5d37a212ed6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{2}\right]&=2i\sigma _{3}\,\\\left[\sigma _{2},\sigma _{3}\right]&=2i\sigma _{1}\,\\\left[\sigma _{3},\sigma _{1}\right]&=2i\sigma _{2}\,\\\left[\sigma _{1},\sigma _{1}\right]&=0\,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{1}\right\}&=2I\,\\\left\{\sigma _{1},\sigma _{2}\right\}&=0\,.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb52acaa33c2c05d5344ccaa9c0f3c3f32e118c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{a},\sigma _{b}\right]+\{\sigma _{a},\sigma _{b}\}&=(\sigma _{a}\sigma _{b}-\sigma _{b}\sigma _{a})+(\sigma _{a}\sigma _{b}+\sigma _{b}\sigma _{a})\\2i\varepsilon _{abc}\,\sigma _{c}+2\delta _{ab}I&=2\sigma _{a}\sigma _{b}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c39ca4b83f107c56dc64e8c41365ed5cf31f1e)
![{\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {Y}}]=2i{\hat {Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb57e1c28ff2c216711ceb876461d47cab7d679)
