Lực

Trong vật lý học, lực (Tiếng Anh: force) là bất kỳ ảnh hưởng nào làm một vật thể chịu sự thay đổi, hoặc là ảnh hưởng đến chuyển động, hướng của nó hay cấu trúc hình học của nó. Nói cách khác, lực là nguyên nhân làm cho một vật có khối lượng thay đổi vận tốc của nó (bao gồm chuyển động từ trạng thái nghỉ), tới chuyển động có gia tốc, hay làm biến dạng vật thể, hoặc cả hai. Lực cũng có thể được miêu tả bằng những khái niệm trực giác như sự đẩy hoặc kéo. Lực là đại lượng vectơ có độ lớn và hướng. Trong hệ đo lường SI nó có đơn vị là newton và ký hiệu là F.

Lực
Lực được mô tả như đại lượng kéo hoặc đẩy một vật, làm cho vật có khối lượng thu một gia tốc.
Ký hiệu thường gặp	F, F
Đơn vị SI	newton
Trong hệ SI	1 kg•m/s2
Liên hệ với các đại lượng khác	F = m a

Định luật thứ hai của Newton ở dạng ban đầu phát biểu rằng tổng lực tác dụng lên một vật bằng với tốc độ thay đổi của động lượng theo thời gian. Nếu khối lượng của vật không đổi, định luật này hàm ý rằng gia tốc của vật tỷ lệ thuận với tổng lực tác dụng lên nó, cũng như theo hướng của tổng lực, và tỷ lệ nghịch với khối lượng của vật. Biểu diễn bằng công thức:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

với mũi tên ám chỉ đây là đại lượng vectơ có độ lớn và hướng.

Những khái niệm liên quan đến lực gồm: phản lực, làm tăng vận tốc của vật; lực cản làm giảm vận tốc của vật; và mô men lực tạo ra sự thay đổi trong vận tốc quay của vật. Nếu không coi vật là chất điểm, mỗi phần của vật sẽ tác dụng những lực lên những phần bên cạnh nó; sự phân bố những lực này trong vật thể được gọi là ứng suất cơ học. Áp suất là một dạng đơn giản của ứng suất. Ứng suất thường làm biến dạng vật rắn hoặc tạo ra dòng trong chất lưu.

Sự hình thành khái niệm

Các nhà triết học thời cổ điển đã sử dụng khái niệm lực trong nghiên cứu những vật chuyển động và đứng yên cũng như các máy đơn giản, tuy thế các triết gia như Aristotle và Archimedes đã mắc phải những sai sót cơ bản khi nghiên cứu về lực. Một phần là do sự hiểu biết không đầy đủ về biểu hiện lực của ma sát, dẫn đến cách nhìn không thỏa đáng về bản chất của chuyển động trong tự nhiên. Một sai lầm cơ bản đó là niềm tin rằng lực là cần thiết để duy trì sự chuyển động, ngay cả với vận tốc không đổi. Hầu hết những hiểu lầm trước đó về chuyển động và lực cuối cùng đã được Isaac Newton miêu tả đúng đắn; với ý nghĩa toán học bên trong, ông đã thiết lập lên các định luật về chuyển động mà đã đứng vững trong gần ba trăm năm. Đầu thế kỷ XX, Albert Einstein phát minh ra thuyết tương đối cho phép tiên đoán đúng đắn tác dụng của lực lên những vật với chuyển động xấp xỉ tốc độ ánh sáng, cũng như mang lại hiểu biết mới về bản chất của lực hấp dẫn và quán tính.

Cùng với tầm nhìn hiện đại theo cơ học lượng tử và công nghệ cho phép gia tốc các hạt cơ bản tới gần tốc độ ánh sáng, vật lý hạt đã đưa ra Mô hình chuẩn để miêu tả các lực giữa những hạt hạ nguyên tử. Mô hình chuẩn tiên đoán sự trao đổi các hạt gọi là boson gauge (boson chuẩn) có ý nghĩa như các lực là hấp thụ hay phát ra hạt. Chỉ có bốn tương tác cơ bản gồm: tương tác mạnh, tương tác điện từ, tương tác yếu, và tương tác hấp dẫn. Thực nghiệm của vật lý năng lượng cao trong thập niên 1970 và 1980 xác nhận rằng tương tác yếu và tương tác điện từ được thống nhất bởi tương tác điện yếu.

Cơ học Newton

Bài chi tiết: Các định luật chuyển động của Newton

Isaac Newton miêu tả chuyển động của mọi vật bằng sử dụng khái niệm quán tính và lực, và ông cũng nhận thấy rằng chúng tuân theo một số định luật bảo toàn. Năm 1687, Newton công bố cuốn sách Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica chứa nội dung về các nghiên cứu của ông. Trong cuốn sách này, Newton dẫn ra ba định luật chuyển động mà cho tới ngày nay là cách mà lực được miêu tả trong vật lý học.

Định luật thứ nhất

Định luật thứ nhất của Newton phát biểu rằng mọi vật sẽ tiếp tục chuyển động trong trạng thái với vận tốc không đổi trừ khi nó bị tác động bởi tổng hợp lực bên ngoài. Định luật này mở rộng quan niệm của Galileo về vận tốc không đổi luôn kết hợp với sự thiếu đi lực tác dụng (xem miêu tả chi tiết bên dưới). Newton đề xuất rằng mỗi vật có khối lượng sẽ có quán tính tự thân như là hàm của "trạng thái tự nhiên" cân bằng cơ bản trong ý tưởng của Aristote về "trạng thái nghỉ tự nhiên". Do vậy, định luật thứ nhất mâu thuẫn với niềm tin trực giác của Aristote rằng hợp lực là cần thiết nhằm duy trì một vật chuyển động với vận tốc không đổi. Bằng cách đặt trạng thái nghỉ không thể phân biệt về mặt vật lý với trạng thái của vật với vận tốc không đổi khác 0, định luật thứ nhất của Newton liên hệ trực tiếp quán tính với khái niệm vận tốc tương đối của Galileo. Đặc biệt, trong hệ mà các vật đang chuyển động với nhiều vận tốc khác nhau, sẽ không thể xác định được vật nào là "đang chuyển động" và vật nào là "đang đứng yên". Nói cách khác, các định luật vật lý là như nhau trong mỗi hệ quy chiếu quán tính, tức là các hệ tuân theo phép biến đổi Galileo.

Ví dụ, khi ngồi trong một chiếc xe chuyển động với vận tốc đều, các định luật vật lý xảy ra trong chiếc xe sẽ không khác gì khi nó đứng yên tương đối. Một người ngồi trong xe ném lên một quả bóng sẽ bắt lại được khi nó rơi xuống mà không bị ảnh hưởng bởi hướng và vận tốc của chiếc xe. Điều này còn đúng ngay cả khi có một người đứng ở mặt đất quan sát thấy xe chạy qua và quả bóng ném trong xe đi theo quỹ đạo parabol theo hướng của chiếc xe. Quán tính của quả bóng kết hợp với vận tốc không đổi của nó theo hướng của chiếc xe chuyển động đảm bảo rằng quả bóng tiếp tục di chuyển theo hướng đó ngay cả khi nó bị ném lên và rơi xuống. Từ quan sát của người ngồi trong xe, chiếc xe và mọi thứ khác bên trong nó ở trong trạng thái nghỉ: trong khi thế giới bên ngoài đang chuyển động với vận tốc không đổi theo hướng ngược lại với chiều chuyển động của chiếc xe. Do không có một thí nghiệm nào có thể phân biệt được chiếc xe đang đứng yên hay thế giới bên ngoài đang đứng yên, hai tình huống này được coi là không thể phân biệt được về mặt vật lý. Do đó quán tính áp dụng một cách bằng nhau cho hệ chuyển động với vận tốc đều hay khi nó đứng yên.

Có thể tổng quát khái niệm quán tính một cách sâu hơn nhằm giải thích cho xu hướng của các vật tiếp tục trong nhiều dạng khác nhau của chuyển động đều, ngay cả khi không giới hạn trong chuyển động đều. Quán tinh quay của Trái Đất thể hiện ở sự không thay đổi độ dài của ngày và của năm (khi không kể đến các ảnh hưởng khác). Albert Einstein đã mở rộng nguyên lý quán tính khi ông áp dụng cho những hệ chuyển động với gia tốc không đổi, như hệ quy chiếu gắn với các vật rơi tự do trong trường hấp dẫn Trái Đất sẽ tương đương vật lý với hệ quy chiếu quán tính. Điều này giải thích tại sao, ví dụ, các nhà du hành vũ trụ có cảm giác không trọng lượng khi ở trên quỹ đạo rơi tự do quanh Trái Đất, và tại sao các định luật chuyển động của Newton có thể dễ dàng kiểm chứng trong môi trường không trọng lực (hoặc vi trọng lực). Nếu nhà du hành đặt một vật khối lượng trong tàu vũ trụ, nó sẽ giữ trạng thái đứng im so với con tàu do quán tính. Điều này xảy ra hệt khi nhà du hành và con tàu vũ trụ ở trong không gian liên thiên hà khi không có lực tác dụng của lực hấp dẫn tác dụng lên hệ quy chiếu trong con tàu. Đây chính là nguyên lý tương đương và nó là một trong những cơ sở của thuyết tương đối tổng quát.

Một trong những phương trình nổi tiếng của Isaac Newton là
$\scriptstyle {{\vec {F}}=m{\vec {a}}}$, mặc dù ông viết dạng phương trình của định luật chuyển động thứ hai khi không sử dụng phép tính vi phân.

Định luật thứ hai

Cách trình bày hiện đại của định luật hai Newton là dưới dạng phương trình vi phân vectơ:

$${\vec {F1}}//{\vec {F2}}$$

với $\scriptstyle {\vec {p}}$ là động lượng của hệ, và $\scriptstyle {\vec {F}}$ là hợp lực (tổng vectơ). Trong hệ cân bằng, hợp lực tác dụng bằng 0, nhưng có thể có nhiều lực tác dụng (cân bằng nhau) vào hệ. Ngược lại, định luật thứ hai nói rằng khi lực không cân bằng tác dụng lên vật sẽ làm cho động lượng của vật thay đổi theo thời gian.

Theo định nghĩa của động lượng,

${\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left(m{\vec {v}}\right)}{\mathrm {d} t}},$

với m là khối lượng và $\scriptstyle {\vec {v}}$ là vận tốc của nó.

Định luật hai chỉ áp dụng cho hệ có khối lượng không đổi, và ở đây m có thể đưa ra ngoài toán tử đạo hàm. Phương trình lúc này trở thành

${\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}.$

Bằng cách thay định nghĩa của gia tốc, dạng đại số của định luật hai Newton trở thành:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}.$

Định luật hai Newton chứng tỏ mối liên hệ trực tiếp của gia tốc tỷ lệ thuận với lực và khối lượng tỷ lệ nghịch với nó. Gia tốc có thể đo được thông qua định nghĩa về mặt động học. Tuy nhiên, trong khi chuyển động học được miêu tả rõ ràng thông qua phân tích hệ quy chiếu trong vật lý cao cấp, vẫn còn có những câu hỏi sâu sắc về định nghĩa bản chất của khối lượng. Thuyết tương đối rộng đề xuất sự liên hệ giữa không thời gian, trường hấp dẫn và khối lượng, nhưng hiện vẫn chưa có một lý thuyết hấp dẫn lượng tử được chấp thuận, do vậy sự liên hệ này có còn đúng khi các nhà vật lý xét ở cấp độ vi mô hay không. Với một vài điều chỉnh, định luật hai Newton có thể dùng làm định nghĩa cho phép đo về khối lượng bằng cách viết định luật dưới dạng biểu thức toán học tương đương.

Cách sử dụng định luật hai Newton làm định nghĩa cho lực không được sự đồng thuận rộng rãi trong nhiều cuốn sách vật lý nâng cao, mặc dù nó đúng về bản chất toán học. Nhiều nhà vật lý, triết học và toán học nổi tiếng đi tìm một cách định nghĩa hiển cho khái niệm lực bao gồm Ernst Mach, hay Walter Noll.

Định luật hai cũng được áp dụng để đo độ lớn của lực. Ví dụ, khi biết khối lượng của hành tinh cùng với gia tốc của nó trên quỹ đạo cho phép tính ra được lực hấp dẫn tác động lên hành tinh đó.

Định luật thứ ba

Định luật thứ ba của Newton là kết quả của áp dụng tính đối xứng cho trường hợp khi lực có ảnh hưởng đáng kể lên các vật khác nhau. Định luật thứ ba có nghĩa là mọi lực là sự tương tác giữa các vật với nhau, và do vậy không có thứ như lực vô hướng hay lực tác dụng chỉ lên một vật. Bất cứ khi nào vật thứ nhất tác dụng lực F lên vật thứ hai, vật thứ hai sẽ tác dụng lực −F lên vật thứ nhất. F và −F có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng. Định luật này đôi khi còn gọi là định luật tác dụng-phản tác dụng, với F gọi là "tác dụng" và −F là "phản tác dụng". Tác dụng và phản tác dụng là đồng thời:

${\vec {F}}_{1,2}=-{\vec {F}}_{2,1}.$

Nếu vật 1 và vật 2 được coi trong cùng một hệ, khi đó hợp lực tác dụng lên hệ do sự tương tác giữa vật 1 và 2 là bằng 0 do

${\vec {F}}_{1,2}+{\vec {F}}_{\mathrm {2,1} }=0$

$\sum {\vec {F}}=0.$

Điều này có nghĩa là trong hệ kín gồm các hạt, không có nội lực mất cân bằng. Tức là, lực tác dụng-phản tác dụng giữa bất kì hai vật nào trong hệ kín sẽ không làm gia tốc khối tâm của hệ. Các vật trong hệ chỉ gia tốc tương đối với nhau, trong khi về tổng thể thì cả hệ không bị gia tốc. Hay cách khác, nếu có ngoại lực tác dụng lên hệ, thì khối tâm của hệ sẽ chịu sự gia tốc bằng độ lớn của ngoại lực chia cho khối lượng của cả hệ.

Kết hợp định luật hai và ba của Newton, có thể chứng tỏ được rằng động lượng của một hệ là bảo toàn. Sử dụng

${\vec {F}}_{1,2}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{1,2}}{\mathrm {d} t}}=-{\vec {F}}_{2,1}=-{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}_{2,1}}{\mathrm {d} t}}$

và tích phân theo thời gian, thu được phương trình:

$\Delta {{\vec {p}}_{1,2}}=-\Delta {{\vec {p}}_{2,1}}$

Đối với hệ bao gồm vật 1 và 2,

$\sum {\Delta {\vec {p}}}=\Delta {{\vec {p}}_{1,2}}+\Delta {{\vec {p}}_{2,1}}=0$

tức là động lượng được bảo toàn. Lập luận tương tự, có thể tổng quát hóa kết quả cho hệ chứa số lượng hạt bất kỳ. Điều này cũng chỉ ra rằng động lượng trao đổi giữa các hạt sẽ không ảnh hưởng đến tổng động lượng của cả hệ. Nói chung, khi coi tất cả lực là do tương tác giữa khối lượng các vật (như bỏ qua lực điện từ), có thể xác định một hệ với tổng động lượng bảo toàn.

Theo thuyết tương đối hẹp

Einstein tại Cục bằng sáng chế Thụy Sĩ (1905).

Trong thuyết tương đối hẹp, khối lượng và năng lượng là tương đương với nhau qua công thức E = mc² (như khi tính toán công cần thiết để gia tốc một vật). Khi vận tốc của vật tăng lên, thì năng lượng của nó cũng tăng và do vậy khối lượng cũng tăng tương đương (quán tính). Do vậy cần nhiều lực hơn để gia tốc nó so với khi vật có vận tốc nhỏ. Định luật hai của Newton viết dưới dạng

${\vec {F}}=\mathrm {d} {\vec {p}}/\mathrm {d} t$

vẫn còn đúng theo định nghĩa toán học. Nhưng để bảo toàn, động lượng tương đối tính phải được định nghĩa lại thành:

${\vec {p}}={\frac {m_{0}{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

với

$v$ là vận tốc

$c$ là tốc độ ánh sáng

$m_{0}$ là khối lượng nghỉ.

Biểu thức tương đối tính liên hệ lực và gia tốc cho một hạt với khối lượng nghỉ không đổi khác 0 $m$ chuyển động theo hướng $x$ là:

$F_{x}=\gamma ^{3}ma_{x}\,$

$F_{y}=\gamma ma_{y}\,$

$F_{z}=\gamma ma_{z}\,$

trong đó hệ số Lorentz

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$

Trong giai đoạn đầu của thuyết tương đối đặc biệt, biểu thức $\gamma ^{3}m$ và $\gamma m$ được gọi là khối lượng theo phương dọc và phương ngang. Lực tương đối tính không tạo ra gia tốc đều, mà gia tốc của vật giảm khi vận tốc của nó tiệm cận đến tốc độ ánh sáng. Lưu ý rằng $\gamma$ không xác định đối với vật có khối lượng nghỉ khác 0 tại vận tốc ánh sáng, và lý thuyết tương đối không cho một tiên đoán nào về vật tại vận tốc này.

Có thể viết lại định nghĩa lực theo thuyết tương đối như sau

$F^{\mu }=mA^{\mu }\,$

bằng cách sử dụng vectơ-4. Biểu thức này đúng trong thuyết tương đối khi $F^{\mu }$ là lực-4, $m$ là khối lượng bất biến, và $A^{\mu }$ là gia tốc-4.

Miêu tả

Hình vẽ minh họa một khối trượt trên một mặt phẳng và mặt phẳng nghiêng. Lực được phân tích và cộng lại nhằm xác định độ lớn của chúng cũng như của hợp lực.

Do cách nhận thức lực thông qua những tác dụng như đẩy hoặc kéo, điều này mang lại cách hiểu trực giác khi miêu tả lực. Như những khái niệm vật lý khác (ví dụ nhiệt độ), cách hiểu trực giác về lực được lượng hóa nhờ sử dụng định nghĩa miêu tả chính xác (operational definition) mà nó nhất quán trực tiếp với kết quả quan sát và phạm vi đo tiêu chuẩn. Thông qua thí nghiệm, các nhà vật lý xác định được rằng lực đo trong phòng thí nghiệm là hoàn toàn thống nhất với lực định nghĩa trong cơ học Newton.

Lực tác dụng theo một hướng cụ thể với độ lớn phụ thuộc vào sự kéo hay đẩy đi mạnh bao nhiêu. Bởi những đặc tính này, lực được phân loại thành đại lượng "vectơ". Điều này có nghĩa rằng lực tuân theo một bộ các quy tắc toán học khác với các đại lượng vật lý không có hướng (đại lượng vô hướng). Ví dụ, khi xác định kết quả của hai lực tác dụng lên cùng một vật, cần phải biết rõ độ lớn và hướng của từng lực nhằm tính toán ra hợp lực. Chỉ cần thiếu một trong hai thông tin này ở mỗi lực thì tình huống sẽ trở lên mập mờ. Như nếu bạn biết hai người đang kéo cùng một sợi dây mà đã biết độ lớn lực kéo nhưng bạn lại không biết mỗi người kéo theo hướng nào, thì bạn sẽ không thể xác định được gia tốc của sợi dây là bao nhiêu. Hai người có thể kéo theo hai hướng ngược nhau như trong trò kéo co hoặc hai người cùng kéo về một hướng. Trong ví dụ một chiều đơn giản này, nếu không biết hướng của lực thì sẽ không thể biết được tổng hợp lực là kết quả của việc cộng hay trừ độ lớn của hai lực. Lực gắn với khái niệm vectơ cho phép tránh được những khó khăn này.

Quy tắc hình bình hành cộng vectơ.

Về mặt lịch sử, các nhà khoa học nghiên cứu lực trong điều kiện cân bằng tĩnh đầu tiên khi ấy một vài lực có thể triệt tiêu lẫn nhau. Các thí nghiệm này minh hóa tính chất quan trọng của lực đó là đại lượng vectơ cộng được: chúng có độ lớn và hướng. Khi hai lực tác dụng vào cùng một hạt điểm, lực kết quả, hợp lực (hoặc tổng hợp lực), sẽ được xác định tuân theo quy tắc hình bình hành của phép cộng vectơ: mỗi lực được biểu thị bằng với 2 cạnh chung đỉnh của hình bình hành, và hợp lực chính bằng vectơ với độ lớn bằng đường chéo của hình bình hành và hướng dọc theo cạnh đó. Độ lớn của hợp lực phụ thuộc vào góc hợp bởi hai lực cũng như độ lớn của mỗi lực thành phần. Nếu hai lực tác dụng lên một vật, quy tắc hình bình hành chỉ áp dụng được khi đường kéo dài hai lực cắt nhau.

Biểu đồ lực là một cách thuận tiện nhằm thu được lực tổng hợp. Về mặt lý thuyết, các biểu đồ này được vẽ với bảo tồn góc và độ lớn tương đối của các vectơ lực sao cho có thể thực hiện được phép cộng hình học vectơ.

Không những cộng được, lực cũng có thể phân tích thành các lực thành phần mà từng cặp vuông góc với nhau. Một lực chỉ theo hướng đông bắc có thể phân tích thành hai lực, một lực chỉ theo hướng bắc còn lực kia chỉ theo hướng đông. Tổng của hai lực thành phần này tuân theo phép cộng vectơ sẽ thu được lực ban đầu. Việc phân tích vectơ lực theo hệ các vectơ cơ sở thường là một phương pháp toán học rõ ràng nhằm miêu tả lực hơn là miêu tả nó bằng độ lớn và hướng. Điều này là do, đối với các thành phần trực giao, các thành phần của vectơ tổng được xác định một cách duy nhất bằng cách cộng các độ lớn của từng các vectơ riêng rẽ. Các thành phần trực giao là độc lập với nhau do lực tác dụng theo hướng 90° sẽ không có ảnh hưởng đến lực vuông góc với nó. Việc chọn bộ các vectơ cơ sở trực giao sao cho để việc thực hiện các phép toán là thuận tiện nhất. Cách hay gặp là chọn cơ sở vectơ theo cùng hướng với một trong những lực cần phân tích, do lực đó sẽ chỉ có một thành phần khác 0 theo hệ cơ sở đó. Các vectơ lực trực giao có thể là một bộ ba trong không gian 3 chiều, với mỗi cặp vectơ cơ sở trực giao với nhau.

Cân bằng

Cân bằng cơ học xuất hiện khi hợp lực tác dụng lên một điểm bằng 0 (hay tổng các vectơ lực bằng 0). Khi mở rộng sang cho vật thực, cần thêm một điều kiện nữa là tổng mô men lực cũng phải bằng 0.

Có hai loại cân bằng là cân bằng tĩnh và cân bằng động.

Trạng thái cân bằng

Bài chi tiết: Tĩnh học

Các nhà khoa học hiểu khá tốt về trạng thái cân bằng tĩnh trước khi cơ học cổ điển ra đời. Các vật đứng yên sẽ có tổng hợp lực tác dụng lên nó bằng 0.

Trường hợp đơn giản nhất của cân bằng tĩnh là khi hai lực có độ lớn bằng nhau nhưng ngược hướng nhau tác dụng tại một điểm. Ví dụ, một vật nằm trên mặt phẳng bị kéo (hút) về tâm Trái Đất bởi lực hấp dẫn. Cùng lúc đó, lực bề mặt chống lại bằng một lực hướng lên trên (còn gọi là lực pháp tuyến). Kết quả là hợp lực bằng 0 và vật không chịu sự gia tốc.

Trường hợp đẩy hay kéo một vật có tính tới ma sát bề mặt khiến cho vật không di chuyển được bởi vì lực tác dụng vào bị chống lại bởi ma sát tĩnh (hay ma sát nghỉ), tạo ra giữa vật và bề mặt nó nằm lên. Khi vật không di chuyển, lực ma sát tĩnh cân bằng chính xác với lực tác dụng và hợp lực bằng 0. Ma sát tĩnh tăng hoặc giảm nhằm đáp ứng lại lực tác dụng vào cho tới một giới hạn trên xác định bởi đặc tính của bề mặt tiếp xúc và vật thể đó.

Ứng dụng cân bằng tĩnh giữa hai lực là một cách thông dụng nhất nhằm đo lực, sử dụng các thiết bị đơn giản như cân trọng lượng (weighing scales) và cân lò xo. Ví dụ, một vật treo lên một cân lò xo thẳng đứng sẽ chịu tác dụng của lực hấp dẫn và một lực cân bằng do sự đàn hồi của lò xo mà tỷ lệ với trọng lượng của vật. Sử dụng những công cụ này, một số định luật liên quan đến lực đã được khám phá: lực hấp dẫn tỉ lệ với thể tích vật chiếm chỗ trong chất lỏng hay định luật Archimedes; nguyên lý đòn bẩy của Archimedes; định luật Boyle-Mariotte cho áp suất khí; và định luật Hooke đối với lò xo. Tất cả đều được khám phá và xác nhận bằng thí nghiệm trước khi Newton nêu ra ba định luật về chuyển động của ông.

Động lực học

Bài chi tiết: Động lực học

Galileo Galilei là người đầu tiên chỉ ra những mâu thuẫn trong các lập luận của Aristotle về lực.

Galileo là người đầu tiên miêu tả về cân bằng động học khi ông nhận thấy rằng một số giả sử của Aristotel mâu thuẫn với quan sát và tính logic. Galileo nhận thấy rằng phép cộng vận tốc đơn giản dẫn đến đòi hỏi một "hệ quy chiếu đứng yên tuyệt đối" là không cần thiết. Ông kết luận rằng trạng thái chuyển động đều hoàn toàn tương đương với trạng thái đứng yên. Điều này mâu thuẫn với khái niệm của Aristotle về "trạng thái tự nhiên" của sự đứng yên mà các vật với khối lượng sẽ cuối cùng đạt đến một cách tự nhiên. Các thí nghiệm đơn giản chứng tỏ rằng nhận thức của Galileo về sự tương đương giữa chuyển động đều và trạng thái đứng yên là đúng đắn. Ví dụ, nếu một người đứng trên con thuyền đi với vận tốc không đổi và thả rơi một quả bóng, khi ấy Aristotel cho rằng quả bóng sẽ rơi về phía sau người đó khi con thuyền tiến về phía trước. Tuy nhiên, thực tế thì quả bóng vẫn rơi đúng tại chân người đó hệt như khi người đó đứng yên trên mặt đất. Do không có lực tác dụng theo phương ngang nào khi quả bóng rơi, chỉ có thể kết luận rằng quả bóng tiếp tục di chuyển với cùng vận tốc như con thuyền khi nó rơi. Do vậy không cần một lực nào để duy trì quả bóng di chuyển với cùng vận tốc của con thuyền về phía trước.

Hơn nữa bất kỳ vật nào chuyển động với vận tốc đều thì hợp lực tác dụng vào nó phải bằng 0. Đây chính là định nghĩa của cân bằng động: khi mọi lực tác dụng lên một vật sẽ cân bằng sao cho vật đó vẫn chuyển động với vận tốc không đổi.

Một trường hợp đơn giản của cân bằng động đó là vật chuyển động đều trên bề mặt với ma sát động. Trong trường hợp này, lực tác dụng theo hướng chuyển động trong khi lực ma sát động tác dụng theo hướng ngược lại. Kết quả là tổng hợp lực bằng 0, nhưng do từ đầu vật chuyển động với vận tốc không đổi, do vậy vật tiếp tục di chuyển với vận tốc đều đó. Aristotle đã hiểu sai về chuyển động đều khi không nhận ra được sự có mặt của ma sát động giữa các bề mặt.

Biểu đồ Feynman

Bài chi tiết: Biểu đồ Feynman

Biểu đồ Feynman cho quá trình phân rã của neutron thành một proton. Hạt boson W nằm giữa hai đỉnh minh họa một lực đẩy.

Trong vật lý hạt hiện đại, lực và sự gia tốc của các hạt được giải thích như là sản phẩm toán học của sự trao đổi các boson gauge mang động lượng. Cùng với sự phát triển của lý thuyết trường lượng tử và thuyết tương đối rộng, các nhà vật lý nhận ra rằng lực một khái niệm phái sinh từ định luật bảo toàn động lượng (4-động lượng trong thuyết tương đối và động lượng của các hạt ảo trong điện động lực học lượng tử). Sự bảo toàn động lượng, mà có thể suy trực tiếp từ tính đối xứng đồng nhất của không gian và thường được coi là khái niệm cơ bản hơn khái niệm lực. Do vậy tên gọi các "lực cơ bản" được các nhà vật lý gọi lại một cách chính xác hơn là "tương tác cơ bản". Khi hạt A phát (tạo ra) hoặc hấp thụ (hủy) hạt ảo B, hạt A sẽ bị giật lùi do hệ quả của định luật bảo toàn động lượng dẫn đến sự liên tưởng là hạt A bị hút hoặc đẩy bằng cách trao đổi thông qua hạt B. Cách miêu tả này áp dụng đối với mọi lực trong tương tác cơ bản. Trong khi cần có những miêu tả bằng toán học phức tạp về các tương tác này một cách chi tiết và cho kết quả chính xác, có một cách dễ hình dung nhằm minh họa các tương tác cơ bản thông qua biểu đồ Feynman. Trong biểu đồ Feynman, mỗi hạt vật chất được biểu diễn bằng một đường thẳng (xem tuyến thế giới (world line)) di chuyển trong không thời gian theo hướng đi lên hoặc chếch sang phải trong biểu đồ. Vật chất và phản vật chất là giống nhau ngoại trừ hướng lan truyền của chúng trên biểu đồ Feynman. Các tuyến thế giới của các hạt cắt nhau tại các đỉnh, và biểu đồ Feynman thể hiện lực xuất hiện từ một tương tác tại mỗi đỉnh thông qua sự thay đổi tức thì trong hướng của tuyến thế giới của hạt. Các boson gauge phát ra từ đỉnh dưới dạng đường lượn sóng, và trong trường hợp trao đổi hạt ảo, chúng bị hấp thụ tại đỉnh kế tiếp.

Tính hữu dụng của biểu đồ Feynman ở chỗ các hiện tượng vật lý khác trong bức tranh chung của tương tác cơ bản nhưng về mặt khái niệm khác hẳn với khái niệm lực vẫn được miêu tả trong cùng các quy tắc của biểu đồ. Ví dụ, biểu đồ Feynman có thể miêu tả súc tích một cách chi tiết tiến trình một hạt neutron phân rã thành một electron, proton, và phản neutrino electron, tương tác được truyền bởi cùng boson gauge của tương tác yếu.

Lực cơ bản

Bài chi tiết: Tương tác cơ bản

Mọi hoạt động trong vũ trụ đều được miêu tả thu gọn về các tương tác cơ bản. Lực mạnh và yếu là các lực hạt nhân có tầm tác dụng rất ngắn ở thang vi mô, chúng chịu trách nhiệm trong tương tác giữa các hạt hạ nguyên tử, bao gồm các nucleon và hạt nhân nguyên tử. Lực điện từ tác dụng giữa các hạt điện tích, và lực hấp dẫn tác động đến mọi hạt khối lượng. Ví dụ, ma sát là thuộc tính thể hiện của lực điện từ tác dụng giữa các nguyên tử tại hai bề mặt tiếp giáp nhau, kết hợp với nguyên lý loại trừ Pauli, ngăn cản các nguyên tử đi xuyên qua nhau. Tương tự, lực đàn hồi từ các lò xo, như mô hình hóa bởi định luật Hooke, là kết quả của lực điện từ và nguyên lý loại trừ kết hợp với nhau tác dụng vào vật làm cho nó trở về vị trí cân bằng. Lực ly tâm là lực gia tốc xuất hiện từ sự gia tốc của một hệ quy chiếu quay.

Sự phát triển của các lý thuyết miêu tả lực cơ bản đi theo hướng thống nhất các khái niệm mà ban đầu có vẻ như tách biệt nhau. Ví như Isaac Newton đã thống nhất lực làm cho các vật rơi trở lại mặt đất với lực gây ra chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời trong cơ học thiên thể thông qua định luật vạn vật hấp dẫn của ông. Michael Faraday và James Clerk Maxwell chứng tỏ rằng lực điện và lực từ là hai biểu hiện của cùng một lực điện từ. Trong thế kỷ XX, sự ra đời của cơ học lượng tử dẫn tới những hiểu biết hiện đại về ba lực cơ bản trong tự nhiên (ngoại trừ hấp dẫn) là do tương tác giữa vật chất (fermion) thông qua trao đổi các hạt ảo gọi là boson gauge. Mô hình chuẩn của vật lý hạt đưa các nhà vật lý đi đến tiên đoán về sự thống nhất giữa tương tác yếu và tương tác điện từ trong lý thuyết điện yếu và các tiên đoán của lý thuyết này đã được xác nhận bằng thực nghiệm. Mô hình chuẩn cũng tiên đoán sự tồn tại của hạt chịu trách nhiệm sinh khối lượng cho các hạt khác thông qua cơ chế Higgs mà gần đây được khám phá tại CERN, nhưng mô hình chuẩn cũng chưa giải thích được tại sao neutrino dao động (hay neutrino thực sự có khối lượng rất nhỏ). Lý thuyết thống nhất lớn miêu tả sự kết hợp của tương tác điện yếu với tương tác mạnh cũng như có một số lý thuyết về siêu đối xứng nhằm giải quyết một số vấn đề chưa giải được trong vật lý học. Các nhà vật lý vẫn đang cố gắng tìm cách phát triển một lý thuyết thống nhất nhất quán kết hợp bốn tương tác cơ bản trong một lý thuyết gọi là thuyết của mọi thứ. Einstein đã thử và không thành công trên con đường này, và hiện nay có một số lý thuyết nổi bật như lý thuyết dây nhằm trả lời các vấn đề này.

Lực hấp dẫn

Bài chi tiết: Tương tác hấp dẫn

Hình ảnh một quả bóng rổ rơi tự do được chụp bằng kính nhấp nháy với tốc độ 20 lần nhấp nháy mỗi giây. Các đơn vị khoảng cách ở bên phải là bội số của khoảng 12 milimét. Quả bóng rổ bắt đầu ở trạng thái nghỉ. Tại thời điểm tia sáng đầu tiên (khoảng cách bằng không) nó được giải phóng, sau đó số lượng đơn vị rơi xuống bằng bình phương của số lần chớp sáng.

Người ta đã không nhận ra lực hấp dẫn là một lực phổ quát cho đến tận khi Isaac Newton nghiên cứu nó. Trước Newton, xu hướng các vật rơi xuống bề mặt Trái Đất không được hiểu là có liên quan đến chuyển động của các thiên thể. Galileo đã làm thí nghiệm nhằm nghiên cứu đặc tính của các vật thả rơi bằng cách ông miêu tả gia tốc của mọi vật rơi tụ do là hằng số và độc lập với khối lượng của vật. Ngày nay, gia tốc do lực hấp dẫn về phía bề mặt Trái Đất thường được ký hiệu là $\scriptstyle {\vec {g}}$ và có độ lớn khoảng 9,81 mét trên giây bình phương (giá trị này đo tại mức nước biển và có thể thay đổi phụ thuộc vào vị trí), và vectơ này hướng về tâm Trái Đất. Quan sát này có nghĩa là lực hấp dẫn tác động lên vật tại bề mặt Trái Đất tỷ lệ trực tiếp với khối lượng của vật. Do vậy một vật có khối lượng $m$ sẽ chịu một lực:

${\vec {F}}=m{\vec {g}}$

Trong trường hợp rơi tự do, không có lực cản lại lực hấp dẫn và do vậy tổng hợp lực tác dụng lên vật chính là trọng lượng của nó. Đối với các vật không trong trạng thái rơi tự do, lực hấp dẫn cân bằng với lực tác dụng lên vật theo hướng ngược lại. Ví dụ, một người đứng trên mặt đất sẽ chịu tổng hợp lực tác dụng vào anh ta bằng 0, do trọng lượng của anh ta cân bằng với lực pháp tuyến tác dụng bởi mặt đất.

Công lao của Newton trong định luật vạn vật hấp dẫn đó là thống nhất chuyển động của các thiên thể, mà Aristotle cho rằng chúng trong trạng thái tự nhiên của chuyển động đều, với chuyển động rơi tự do của các vật trên Trái Đất. Từ định luật của ông cũng suy ra được các định luật của Kepler miêu tả chuyển động của các thiên thể có từ trước đó.

Newton nhận ra rằng ảnh hưởng của hấp dẫn có thể quan sát theo nhiều cách khác nhau ở những khoảng cách lớn hơn. Đặc biệt, ông chứng tỏ rằng gia tốc của Mặt Trăng trên quỹ đạo quanh Trái Đất có thể được gắn cho bởi nguyên nhân của cùng một lực hấp dẫn nếu như gia tốc do hấp dẫn giảm tuân theo định luật nghịch đảo bình phương. Hơn nữa, Newton cũng thấy gia tốc do hấp dẫn tỷ lệ với khối lượng của vật thể hút. Kết hợp những suy nghĩ này ông dẫn ra được công thức liên hệ khối lượng ($\scriptstyle m_{\oplus }$) và bán kính ($\scriptstyle R_{\oplus }$) của Trái Đất với gia tốc hấp dẫn:

${\vec {g}}=-{\frac {Gm_{\oplus }}{{R_{\oplus }}^{2}}}{\hat {r}}$

với hướng của vectơ theo hướng của vectơ đơn vị $\scriptstyle {\hat {r}}$ mà hướng từ tâm Trái Đất ra ngoài.

Trong phương trình này, hằng số $G$ được đưa ra nhằm miêu tả độ mạnh của lực hấp dẫn. Hằng số này còn gọi là hằng số hấp dẫn Newton, mặc dù thời Newton người ta chưa xác định được nó. Cho đến tận năm 1798 Henry Cavendish mới lần đầu tiên có thể xác định được giá trị của $G$ bằng thí nghiệm cân xoắn thăng bằng; thí nghiệm này nhanh chóng trở lên nổi tiếng khi việc xác định được giá trị của $G$ cũng đồng nghĩa với việc xác định được khối lượng của Trái Đất. Đi xa hơn, Newton còn nhận thấy do mọi thiên thể tuân theo cùng các định luật của Kepler, do vậy định luật hấp dẫn của ông phải mang tính phổ quát. Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton phát biểu rằng lực tác dụng lên một khối cầu khối lượng $m_{1}$ do sức hút hấp dẫn từ khối cầu khối lượng $m_{2}$ bằng

${\vec {F}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {r}}$

với $r$ là khoảng cách giữa tâm hai khối cầu và $\scriptstyle {\hat {r}}$ là vectơ đơn vị chỉ theo hướng từ tâm của vật thể đầu tiên đến tâm của vật thể thứ hai.

Định luật này đã đứng vững trong hơn 200 năm như là cơ sở cho những miêu tả của cơ học thiên thể cho đến đầu thế kỷ XX. Trong thời gian này, phương pháp phức tạp của lý thuyết nhiễu loạn đã được phát minh nhằm tính toán những sai lệch trong quỹ đạo của thiên thể trong bài toán nhiều vật như hệ hành tinh, vệ tinh tự nhiên, sao chổi, hay tiểu hành tinh. Phương pháp này đủ chính xác để giúp các nhà thiên văn học tiên đoán sự tồn tại của Sao Hải Vương trước khi họ quan sát thấy nó.

Chỉ có quỹ đạo của Sao Thủy là định luật của Newton dường như không thể giải thích một cách tốt nhất. Một số nhà thiên văn đề xuất có sự tồn tại của một hành tinh nằm bên trong quỹ đạo giữa Sao Thủy và Mặt Trời nhằm miêu tả chuyển động dị thường của sự tiến động của điểm cận nhật quỹ đạo Sao Thủy; tuy vậy không có một hành tinh nào được phát hiện ra. Khi Albert Einstein cuối cùng thiết lập ra thuyết tương đối tổng quát (GR) ông đã nghĩ ngay tới khải năng giải thích chuyển động dị thường của Sao Thủy bằng lý thuyết mới này. Kết quả tiên đoán của thuyết tương đối rộng khớp với các số liệu quan sát khiến Einstein tin rằng ông đã tìm ra dạng đúng của phương trình trường. Đây là lần đầu tiên lý thuyết hấp dẫn của Newton được chỉ ra là ít chính xác hơn một lý thuyết khác.

Kể từ đó, thuyết tương đối rộng được công nhận là lý thuyết tốt nhất miêu tả được lực hấp dẫn. Trong thuyết tương đối rộng, lực hấp dẫn không được xem như là một lực, bởi chuyển động rơi tự do của vật trong trường hấp dẫn đi theo đường trắc địa trong không thời gian cong – hay là đường ngắn nhất giữa hai sự kiện trong không thời gian. Từ vật rơi tự do, mọi chuyển động xảy ra dường như không phải do lực hấp dẫn bên ngoài tác động hay không còn lực hấp dẫn. Chỉ khi nhận xét trên tổng thể cả hệ, độ cong của không thời gian mới có thể nhận thấy và lực xuất hiện như là một cách giải thích cho vật đi theo những quỹ đạo cong. Do vậy, đường thẳng trong không thời gian tương ứng với đường cong trong không gian, hay quỹ đạo đường đạn của vật. Ví dụ, một quả bóng rổ ném lên từ mặt đất sẽ chuyển động theo quỹ đạo hình parabol trong trường hấp dẫn đều. Quỹ đạo trong không thời gian của nó (khi tính tới chiều thời gian ct) sẽ là một đường gần thẳng, hơi cong (với bán kính cong có độ lớn tới vài năm ánh sáng). Kết quả của đạo hàm thời gian của động lượng của vật được đồng nhất với "lực hấp dẫn".

Lực điện từ

Bài chi tiết: Tương tác điện từ

Lực điện từ được miêu tả lần đầu tiên vào năm 1784 bởi Coulomb khi ông coi có một lực tồn tại tác dụng lên giữa hai điện tích. Tính chất của lực tĩnh điện đó là nó tuân theo định luật nghịch đảo bình phương khoảng cách giữa hai điện tích, và đều có dạng hút và dạng đẩy (sự phân cực điện), đồng thời lực điện độc lập với khối lượng của vật tích điện cũng như tuân theo nguyên lý chồng chập. Định luật Coulomb đã thống nhất được mọi quan sát này trong một phát biểu duy nhất.

Các nhà toán học và vật lý sau đó đã tìm ra cách định nghĩa xây dựng cho điện trường một cách hữu ích nhằm xác định được lực tĩnh điện tác động lên một điện tích tại mọi điểm trong không gian. Định nghĩa điện trường dựa trên giả sử có một điện tích thử tồn tại trong điện trường và sau đó dựa trên định luật Coulomb để xác định được lực của điện trường tác dụng lên điện tích thử và suy ra được cường độ điện trường tại vị trí của điện tích thử. Do vậy điện trường trong không gian được định nghĩa như là

${\vec {E}}={{\vec {F}} \over {q}}$

với $q$ là độ lớn của điện tích thử.

Trong khi đó, người ta cũng phát hiện ra lực Lorentz của một nam châm tồn tại giữa hai dây dẫn mang dòng điện. Nó có cùng một tính chất toán học như định luật Coulomb khi mà các dây điện có thể hút hoặc đẩy lẫn nhau tùy thuộc vào chiều của dòng điện chạy trong mỗi sợi dây. Tương tự như điện trường, từ trường được dùng để xác định lực từ tác dụng lên một dây dẫn điện tại một điểm bất kỳ trong không gian. Tương tự rong trường hợp này, độ lớn của từ trường sẽ được xác định là

$B={F \over {I\ell }}$

với $I$ là độ lớn của dòng điện chạy qua dây dẫn và $\scriptstyle \ell$ là độ dài của dây mà dòng điện thử nghiệm chạy qua. Từ trường tác dụng một lực lên mọi nam châm như từ trường Trái Đất tác dụng lên kim la bàn và được các nhà hàng hải, hoa tiêu sử dụng để định vị phương hướng.

Thông qua kết hợp định nghĩa của dòng điện bằng sự biến đổi theo thời gian của các hạt điện tích chạy trong dây dẫn, Lorentz nêu ra quy tắc tích vectơ xác định lực Lorentz miêu tả lực tác dụng lên một điện tích di chuyển trong từ trường. Sự liên hệ giữa điện học và từ học cho phép miêu tả một cách thống nhất lực điện từ tác dụng lên điện tích. Lực này có thể biểu diễn dưới dạng tổng của lực tĩnh điện (do tác động của điện trường) và lực từ (do từ trường):

${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

với $\scriptstyle {\vec {F}}$ lực điện từ, $q$ là độ lớn điện tích của hạt thử, $\scriptstyle {\vec {E}}$ là điện trường, $\scriptstyle {\vec {v}}$ là vận tốc của hạt nhân với từ trường ($\scriptstyle {\vec {B}}$).

Nguồn gốc của điện trường và từ trường không được hiểu đầy đủ cho đến tận năm 1864 khi James Clerk Maxwell thống nhất một số các lý thuyết trước đó trong một hệ 20 phương trình vô hướng, mà sau đó Oliver Heaviside độc lập với Josiah Willard Gibbs viết lại thành hệ 4 phương trình vectơ. "Phương trình Maxwell" miêu tả đầy đủ nguồn gốc của trường điện từ đứng yên hay chuyển động, cũng như tương tác giữa chúng. Điều này dẫn Maxwell tới khám phá ra rằng từ trường và điện trường có thể tự duy trì lẫn nhau trong không gian dưới dạng sóng lan truyền với tốc độ mà ông tính ra được bằng tốc độ ánh sáng. Ý nghĩa này mang lại sự thống nhất của ngành điện từ học non trẻ với ngành quang học cũng như dẫn trực tiếp tới sự miêu tả đầy đủ hơn về phổ điện từ.

Tuy nhiên, lý thuyết của Maxwell đã không giải thích được hai hiện tượng quan sát vào thời đó, hiệu ứng quang điện, và sự không tồn tại của thảm họa cực tím. Hai hiện tượng này đã thúc đẩy các nhà vật lý hàng đầu đi đến một lý thuyết điện từ mới dựa trên cơ học lượng tử: điện động lực học lượng tử (QED), lý thuyết miêu tả một cách trọn vẹn các hiệu ứng điện từ khi có sự tham gia của hạt trung gian là các photon thực và ảo. Trong QED, photon là các hạt trao đổi trong tương tác liên quan đến điện từ bao gồm lực điện từ.

Có một sự hiểu nhầm phổ biến khi cho rằng độ cứng và rắn của chất rắn là do lực đẩy điện từ giữa các điện tích cùng dấu. Tuy nhiên, tính cứng và rắn của vật chất là hệ quả từ nguyên lý loại trừ Pauli. Do electron là các fermion, chúng không thể ở cùng một trạng thái lượng tử. Khi các electron trong nguyên tử bị nén chặt lại, sẽ không có đủ trạng thái cơ lượng tử năng lượng thấp cho mọi electron (và là một trong những hệ quả của nguyên lý bất định), do đó một số electron phải ở trạng thái năng lượng cao hơn. Điều này có nghĩa là cần có nhiều năng lượng hơn để nén chúng lại. Trong khi đó, đối với từng nguyên tử thì chỉ có một số hữu hạn số trạng thái mà các electron có thể chiếm giữ trên obitan nguyên tử.

Lực hạt nhân

Bài chi tiết: Lực hạt nhân

Xem thêm: Tương tác mạnh và Tương tác yếu

Có hai loại "lực hạt nhân" mà ngày nay được coi là các tương tác miêu tả bởi các lý thuyết trường lượng tử trong vật lý hạt. Lực hạt nhân mạnh là lực chịu trách nhiệm cho cấu trúc tổ hợp của các nucleon và hạt nhân nguyên tử trong khi lực hạt nhân yếu gây ra sự phân rã của một số nucleon và hạt nhân thành các lepton và các hạt hadron khác.

Lực hạt nhân mạnh là tương tác giữa các quark và gluon cũng như liên kết các proton và neutron với nhau, như được miêu tả trong thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD). Các hạt gluon là những hạt truyền tương tác mạnh, tác dụng lên các quark, phản quark, và chính gluon. Lực mạnh là lực có cường độ mạnh nhất trong bốn lực cơ bản trong tự nhiên.

Lực mạnh chỉ tác dụng trực tiếp lên các hạt cơ bản. Tuy thế, sự dư thừa hay rò rỉ của nó như quan sát các hadron (hay như lực liên kết các nucleon bao gồm proton và neutron trong hạt nhân) được coi như là lực hạt nhân. Ở đây lực mạnh tác dụng một cách gián tiếp, khi gluon truyền ra tạo thành các hạt ảo như meson pi và rho meson mà các nhà vật lý hạt nhân coi chúng là các hạt truyền của lực hạt nhân. Do không thể quan sát trực tiếp các hạt quark tự do cho nên ảnh hưởng của các hạt cơ bản là không quan sát trực tiếp được. Hiệu ứng này được gọi là sự giam hãm màu.

Lực hạt nhân yếu hay tương tác yếu có các hạt truyền là các boson W và Z có khối lượng lớn. Hiệu ứng quen thuộc nhất của lực này đó là phân rã beta (của các neutron trong hạt nhân) và đi kèm với sự phóng xạ. Thuật ngữ "yếu" xuất phát từ thực tế rằng cường độ của nó nhỏ hơn 10¹³ so với lực mạnh. Mặc dù vậy nó vẫn mạnh hơn lực hấp dẫn ở tầm tác dụng vi mô. Cả hai lực mạnh và lực yếu có tầm tác dụng ngắn trong cấp độ hạt nhân. Các nhà vật lý đã phát triển lý thuyết điện yếu với tiên đoán lực điện từ và lực yếu là không thể phân biệt được khi các hạt cơ bản trong trạng thái nhiệt độ xấp xỉ 10¹⁵ kelvin. Các nhiệt độ này đã được khảo sát trong các máy gia tốc hiện đại và chúng thể hiện những điều kiện sơ khai của vũ trụ trong những giây ngắn ngủi đầu tiên sau Vụ Nổ Lớn.

Các lực khác

Một số lực là hệ quả của các lực cơ bản. Trong các tình huống như vậy, những mô hình lý tưởng có thể được sử dụng để hiểu rõ những quy luật vật lý.

Lực pháp tuyến

F_N đại diện cho lực pháp tuyến tác động lên đối tượng.

Bài chi tiết: Lực pháp tuyến

Lực pháp tuyến là do lực đẩy của tương tác giữa các nguyên tử tại bề mặt tiếp xúc. Khi các đám mây electron xếp đan xen nhau, nguyên lý loại trừ Pauli (do bản chất hạt fermion của electron) làm nảy sinh lực đẩy tác dụng theo hướng vuông góc với bề mặt tiếp xúc giữa hai vật. Ví dụ, lực pháp tuyến cản trở không cho chiếc bàn bị thụt xuống sàn nhà. Ngoài ra lực pháp tuyến xuất hiện khi có một lực tác động va vào một bề mặt không chuyển động được.

Ma sát

Bài chi tiết: Ma sát

Ma sát là lực bề mặt chống lại xu hướng chuyển động tương đối giữa hai vị trí bề mặt. Lực ma sát tỷ lệ trực tiếp với lực pháp tuyến giữ cho hai vật rắn tách rời nhau ở những điểm tiếp xúc. Lực ma sát được phân loại thành hai loại lực: ma sát tĩnh và ma sát động.

Lực ma sát tĩnh ($F_{\mathrm {sf} }$) sẽ bằng và ngược hướng với lực tác dụng song song với bề mặt tiếp xúc cho tới một giới hạn xác định bởi hệ số ma sát tĩnh ($\mu _{\mathrm {sf} }$) nhân với lực pháp tuyến ($F_{N}$). Hay nói cách khác độ lớn của ma sát tĩnh thỏa mãn bất đẳng thức:

$0\leq F_{\mathrm {sf} }\leq \mu _{\mathrm {sf} }F_{\mathrm {N} }$.

Ma sát động ($F_{\mathrm {kf} }$) độc lập với cả lực tác dụng và sự chuyển động của vật. Do vậy độ lớn của lực ma sát động bằng:

$F_{\mathrm {kf} }=\mu _{\mathrm {kf} }F_{\mathrm {N} }$,

với $\mu _{\mathrm {kf} }$ là hệ số ma sát động. Đối với hầu hết các bề mặt tiếp xúc, hệ số ma sát động nhỏ hơn hệ số ma sát tĩnh.

Sức căng

Bài chi tiết: Sức căng

Lực căng được mô hình hóa bằng những dây lý tưởng không có khối lượng, không gây ma sát, không thể phá vỡ được và không bị kéo giãn. Chúng có thể kết hợp với các ròng rọc lý tưởng cho phép các dây lý tưởng chuyển đổi hướng lực tác dụng. Các dây lý tưởng truyền lực căng một cách tức thời trong cặp tác dụng-phản tác dụng sao cho nếu hai vật nối với nhau bởi một dây lý tưởng, bất kỳ lực nào hướng dọc theo dây gây nên bởi vật thứ nhất được kết hợp với một lực hướng dọc theo dây theo hướng ngược lại gây bởi vật thứ hai. Bằng cách nối những dây lý tưởng tương tự đối với cùng những vật như thế theo một cấu hình với các ròng rọc, lực căng của dây lên tải trọng có thể được tăng gấp bội cho phép ròng rọc có thể nâng được vật khối lượng lớn. Tuy nhiên, trong những cỗ máy đơn giản như ròng rọc, việc lợi về lực thì lại tương ứng với thiệt về quãng đường cần kéo dây để có thể di chuyển tải trọng. Quy luật này chính là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng do công tác dụng lên tải trọng là như nhau cho dù các cỗ máy có hoạt động theo cách nào đi chăng nữa.

Lực đàn hồi

Bài chi tiết: Lực đàn hồi và Định luật Hooke

F_k là lực đáp ứng lại tải trọng tác dụng lên lò xo.

Lực đàn hồi tác dụng lên lò xo khiến nó khôi phục lại trạng thái ban đầu. Một lò xo lý tưởng được coi là không có khối lượng, không có ma sát, không bị đứt gãy, và có thể dãn vô hạn. Những lò xo này tác dụng lực đẩy khi chúng bị nén ngắn lại, hoặc lực kéo khi bị kéo dài, lực này tỉ lệ với độ dịch chuyển của lò xo từ vị trí cân bằng của nó. Robert Hooke đã miêu tả mối quan hệ tuyến tính này vào năm 1676 bởi định luật mang tên ông là định luật Hooke. Nếu $\Delta x$ là độ dịch chuyển, lực tác dụng bởi lò xo lý tưởng sẽ bằng:

${\vec {F}}=-k\Delta {\vec {x}}$

với $k$ là hằng số phụ thuộc vào từng loại lò xo. Dấu trừ thể hiện cho xu hướng của lực tác dụng theo hướng ngược lại khi có ngoại lực tác dụng lên lò xo.

Cơ học môi trường liên tục

Khi lực cản ($F_{d}$) là tổng hợp lực của sức cản không khí có độ lớn bằng trọng lượng của vật rơi ($F_{g}$), lúc này vật đạt đến trạng thái cân bằng động hay vận tốc cuối cùng.

Bài chi tiết: Áp suất, Lực cản, và Ứng suất

Cơ học và các định luật Newton lúc đầu được phát biểu trong trường hợp lực tác dụng lên các hạt điểm lý tưởng hơn là các vật thể hình học ba chiều. Tuy vậy trong thực tế, các lực tác dụng lên một vị trí của vật thể và có thể coi là ảnh hưởng đến những phần khác của vật. Trong trường hợp khi các dàn tinh thể nguyên tử trong một vật hành xử theo cách có thể chảy được, co lại, nở ra hoặc thay đổi hình dạng, lý thuyết cơ học môi trường liên tục miêu tả lực tác dụng lên vật thể và những hệ quả đối với cấu trúc bên trong của vật. Ví dụ, trong cơ học chất lỏng, sự chênh lệch áp suất hình thành lên lực theo hướng của gradient áp suất như sau:

${\frac {\vec {F}}{V}}=-{\vec {\nabla }}P$

với $V$ là thể tích vật chiếm chỗ trong chất lỏng và $P$ là hàm vô hướng miêu tả áp suất tại mọi vị trí trong không gian. Gradient áp suất và sự chênh lệch áp suất là nguyên nhân của lực đẩy nổi đối với vật trong chất lỏng dưới tác dụng của trường hấp dẫn, gió trong khoa học khí quyển, và lực nâng trong khí động lực học và nghiên cứu chuyển động bay.

Một ví dụ cụ thể của những loại lực này là áp suất động lực của sức cản chất lỏng: một vật chuyển động trong môi trường chất lỏng bị một lực cản gây bởi tính nhớt của chất lỏng đó. Lực cản Stokes tỷ lệ xấp xỉ với vận tốc của vật và có hướng ngược lại:

${\vec {F}}_{\mathrm {d} }=-b{\vec {v}}\,$

với:

$b$ là hằng số phụ thuộc vào tính chất của chất lỏng và hình học của vật thể (thường là tiết diện của vật thể), và

$\scriptstyle {\vec {v}}$ là vận tốc của vật.

Một các trừu tượng hơn, lực trong cơ học môi trường liên tục được miêu tả đầy đủ bởi tenxơ ứng suất được định nghĩa là

$\sigma ={\frac {F}{A}}$

với $A$ là diện tích tiết diện tương ứng cho thể tích mà tenxơ ứng suất đang cần tính. Tenxơ này bao gồm thành phần áp suất gắn liền với lực tác dụng vuông góc với mặt cắt tiết diện (ma trận chéo của tenxơ) cũng như thành phần ứng suất cắt gắn liền với lực tác dụng theo hướng song song với mặt cắt tiết diện (các thành phần không thuộc đường chéo của biểu diễn ma trận tenxơ). Tenxơ ứng suất cũng miêu tả các lực gây ra sự biến dạng của vật thể như lực nén và lực kéo.

Giả lực

Bài chi tiết: Giả lực

Có những loại lực mà giá trị và hướng phụ thuộc vào hệ quy chiếu, có nghĩa là chúng xuất hiện khi sử dụng những hệ quy chiếu phi Newton (hay hệ quy chiếu phi quán tính). Những lực này bao gồm lực hướng tâm và lực Coriolis. Những lực này được coi là giả lực do chúng không tồn tại trong hệ quy chiếu đang không bị gia tốc.

Trong thuyết tương đối rộng, lực hấp dẫn trở thành giả lực khi nó xuất hiện trong những tình huống khi không thời gian được coi là không gian cong hơn là không gian phẳng.

Quay và xoắn

Mối liên hệ giữa lực (F), mômen lực (hay ngẫu lực, mômen xoắn) (τ), và vectơ mômen động lượng (p và L) trong một cơ hệ quay.

Bài chi tiết: Mô men lực

Lực đi kèm với mômen lực làm quay vật. Về mặt toán học mô men lực của một lực $\scriptstyle {\vec {F}}$ được xác định đối với một điểm bất kỳ thông qua tích có hướng:

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

với

$\scriptstyle {\vec {r}}$ là vec tơ vị trí lực đặt vào so với điểm quy chiếu.

Ngẫu lực là sự quay tương đương của lực theo cùng cách mà vec tơ vị trí quay một góc tương đương, hoặc vec tơ vận tốc góc cho vận tốc và mô men động lượng cho động lượng. Theo hệ quả của Định luật thứ nhất Newton, tồn tại quán tính quay để đảm bảo mọi vật sẽ vẫn duy trì mô men động lượng của nó trừ khi có ngẫu lực không cân bằng tác động lên. Tương tự, Định luật thứ hai Newton được dùng để suy ra phương trình cho gia tốc góc tức thời của vật rắn:

${\vec {\tau }}=I{\vec {\alpha }}$

với

$I$ là mô men quán tính của vật

$\scriptstyle {\vec {\alpha }}$ là gia tốc góc.

Công thức này cũng dùng để định nghĩa cho khái niệm mô men quán tính. Trong cơ học cao cấp, nơi miêu tả sự quay theo khoảng thời gian, mô men quán tính được thay bằng khái niệm tổng quát hơn là tensơ mô men quán tính, cho phéo khi phân tích đầy đủ và chi tiết đặc tính của vật quay bao gồm tiến động và chương động.

Một cách tương đương, dạng vi phân của Định luật thứ hai Newton đưa ra định nghĩa khác về mô men lực:

${\vec {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {dt} }},$ với $\scriptstyle {\vec {L}}$ là động lượng góc của hạt.

Định luật thứ ba Newton nói rằng mọi vật tác động ngẫu lực thì chính chúng sẽ chịu một ngẫu lực bằng về độ lớn nhưng ngược hướng, và do vậy hàm ý trực tiếp định luật bảo toàn mô men động lượng cho hệ kín chịu sự quay thông qua tác dụng của nội mô men xoắn.

Lực hướng tâm

Bài chi tiết: Lực hướng tâm

Một vật chuyển động gia tốc trên quỹ đạo tròn, nó chịu một lực có độ lớn bằng:

${\vec {F}}=-{\frac {mv^{2}{\hat {r}}}{r}}$

với $m$ là khối lượng của vật, $v$ là vận tốc và $r$ là độ lớn khoảng cách đến tâm của quỹ đạo tròn và $\scriptstyle {\hat {r}}$ là vectơ đơn vị chỉ theo hướng từ tâm ra ngoài. Lực hướng tâm luôn hướng về tâm của đường tròn tiếp xúc với quỹ đạo của vật thể tại một thời điểm. Lực này tác dụng vuông góc với vectơ vận tốc của vật và do vậy không làm thay đổi độ lớn vận tốc của nó, nhưng chỉ làm thay đổi hướng của vectơ vận tốc. Lực gây ra chuyển động của vật có thể phân tích thành một thành phần vuông góc với quỹ đạo của nó, và một thành phần tiếp tuyến với quỹ đạo. Thành phần tiếp tuyến làm tăng tốc hoặc làm chậm vật trong khi thành phần vuông góc (lực hướng tâm) làm thay đổi hướng của nó.

Tích phân động học

Bài chi tiết: Xung lực, Công cơ học, và Công suất

Lực có thể dùng để định nghĩa một số khái niệm vật lý bằng cách tích phân nó theo các biến động học. Ví dụ, tích phân theo thời gian sẽ cho định nghĩa của xung lực:

${\vec {I}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {F}}\mathrm {d} t}$

mà theo định luật hai của Newton nó phải tương đương với sự thay đổi của động lượng (định lý xung lượng- động lượng).

Tương tự, tích phân lực theo vị trí cho định nghĩa của công cơ học tác dụng bởi lực:

$W=\int _{{\vec {x}}_{1}}^{{\vec {x}}_{2}}{{\vec {F}}\cdot {\mathrm {d} {\vec {x}}}}$

và nó tương đương với sự thay đổi của động năng (định lý công năng lượng).

Công suất P là tỷ lệ thay đổi dW/dt của W theo thời gian, khi quỹ đạo được mở rộng bởi sự thay đổi vị trí $\scriptstyle {d}{\vec {x}}$ trong khoảng thời gian dt:

${\text{d}}W\,=\,{\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}{\vec {x}}}}\,\cdot \,{\text{d}}{\vec {x}}\,=\,{\vec {F}}\,\cdot \,{\text{d}}{\vec {x}},\qquad {\text{ hay }}\quad P\,=\,{\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}t}}\,=\,{\frac {{\text{d}}W}{{\text{d}}{\vec {x}}}}\,\cdot \,{\frac {{\text{d}}{\vec {x}}}{{\text{d}}t}}\,=\,{\vec {F}}\,\cdot \,{\vec {v}},$

với $\scriptstyle {{\vec {v}}{\text{ }}={\text{ d}}{\vec {x}}/{\text{d}}t}$ là vận tốc.

Thế năng

Bài chi tiết: Thế năng

Một khái niệm toán học hữu ích thay thế cho lực trong nhiều trường hợp đó là thế năng. Ví dụ lực hấp dẫn tác dụng lên một vật có thể coi như là tác dụng của trường hấp dẫn có mặt tại vị trí của vật. Bằng cách viết lại định nghĩa của năng lượng (thông qua định nghĩa của công cơ học), trường vô hướng thế năng $\scriptstyle {U({\vec {r}})}$ được định nghĩa là trường mà gradien có độ lớn bằng và ngược hướng với lực tác dụng tại mỗi điểm:

${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}U.$

Lực có thể được phân loại thành lực bảo toàn hoặc lực không bảo toàn. Lực bảo toàn là tương đương với gradien của trường thế năng trong khi lực không bảo toàn thì không có tính chất này.

Lực bảo toàn

Bài chi tiết: Lực bảo toàn

Lực bảo toàn tác động lên một hệ kín gắn liền với công cơ học cho phép năng lượng được biến đổi giữa các dạng động năng và thế năng. Điều này có nghĩa là trong một hệ kín cơ năng được bảo toàn bất cứ khi nào có lực bảo toàn tác động lên hệ. Do vậy lực liên hệ trực tiếp với hiệu thế năng giữa hai vị trí khác nhau trong không gian, và có thể coi như một trường thế năng giả theo cùng cách với hướng và lưu lượng nước trong biểu đồ đường đồng mức của địa hình.

Các lực bảo toàn bao gồm lực hấp dẫn, lực điện từ và lực đàn hồi lò xo. Mỗi lực này được mô hình hóa mà phụ thuộc vào vectơ vị trí $\scriptstyle {\vec {r}}$ hướng từ trường thế năng đối xứng cầu ra ngoài. Xét ví dụ dưới:

Đối với lực hấp dẫn:

${\vec {F}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}{\vec {r}}}{r^{3}}}$

với $G$ là hằng số hấp dẫn, và $m_{n}$ là khối lượng của vật n.

Đối với lực tĩnh điện:

${\vec {F}}={\frac {q_{1}q_{2}{\vec {r}}}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}$

với $\epsilon _{0}$ là hằng số điện môi, và $q_{n}$ là điện tích của vật n.

Đối với lực lò xo:

${\vec {F}}=-k{\vec {r}}$

với $k$ là hằng số đàn hồi của lò xo.

Lực không bảo toàn

Trong một số mô hình vật lý nhất định, khó có thể định nghĩa lực dựa trên khái niệm gradien của thế năng. Điều này thường do những giả sử vĩ mô cho phép thu được lực từ mức độ trung bình thống kê vĩ mô của những hệ có trạng thái vi mô. Ví dụ, ma sát có nguyên nhân từ gradien của rất nhiều thế năng tĩnh điện giữa các nguyên tử, nhưng nó lại thể hiện ra như một lực độc lập với bất kỳ vectơ vị trí vĩ mô nào. Lực không bảo toàn ngoài lực ma sát ra bao gồm lực tiếp xúc, sức căng bề mặt, sự nén và kéo. Tuy nhiên, cho những tình huống miêu tả thích hợp, tất cả những lực trên là kết quả của lực bảo toàn do mỗi lực vĩ mô này là tổng hợp của các gradien thế năng vi mô.

Mối liên hệ giữa lực không bảo toàn vĩ mô với lực bảo toàn vi mô được miêu tả chi tiết trong cơ học thống kê. Trong hệ kín vĩ mô, lực không bảo toàn tác động đến sự thay đổi nội năng của hệ và thường đi kèm với hiệu ứng truyền nhiệt. Theo định luật thứ hai của nhiệt động lực học, lực không bảo toàn là kết quả cần thiết của quá trình biến đổi năng lượng trong hệ kín từ trạng thái trật tự chuyển sang trạng thái ngẫu nhiên khi entropy của hệ tăng lên.

Đơn vị đo của lực

Đơn vị SI của lực là newton (ký hiệu N), là lực cần thiết để làm một vật có khối lượng một kilogram thu gia tốc một mét trên giây bình phương, hoặc kg·m·s⁻². Tương ứng, đơn vị của lực theo hệ CGS là dyne, là lực cần thiết để làm một vật có khối lượng một gram thu gia tốc một centimet trên giây bình phương, hayg·cm·s⁻². Một newton bằng 100,000 dyne.

Theo hệ đơn vị Anh FPS, thì đơn vị của lực là pound-lực (lbf), được định nghĩa là lực hấp dẫn tác dụng lên một khối lượng một pound trong một trọng trường tiêu chuẩn 9.80665 m·s⁻². Đơn vị pound-lực đưa ra một đơn vị khác cho khối lượng: một slug là khối lượng mà sẽ thu được gia tốc một foot trên giây bình phương khi bị tác động bởi một lực một pound-lực.

Một đơn vị khác của lực theo hệ FPS tuyệt đối là poundal, được định nghĩa là lực cần thiết để gia tốc cho khối lượng một pound đạt một foot trên giây bình phương. Các đơn vị slug và poundal được đưa ra nhằm tránh hằng số tỷ lệ trong định luật 2 Newton.

Pound-lực cũng có một đơn vị tương ứng trong hệ đo lường mét nhưng ít được sử dụng hơn newton: đó là kilogram-lực (kgf) (đôi khi gọi là kilopond), là lực tác động lên một khối lượng một kilogram gây ra bởi một trọng trường tiêu chuẩn. Kilogram-lực dẫn đến một đơn vị đo khối lượng khác, nhưng ít khi sử dụng đó là:metric slug (đôi khi gọi là mug hay hyl) là khối lượng mà thu được một gia tốc 1 m·s⁻² khi bị tác dụng một lực 1 kgf. Kilogram-lực không thuộc hệ đo lường quốc tế hiện đại, và thường bị phản đối; tuy nhiên nó vẫn còn được dùng cho một vài trường hợp chẳng hạn như biểu diễn phản lực, lực kéo của nan hoa xe đạp, mô men xoắn của bộ chìa vặn đai ốc và mô men xoắn công suất động cơ. Những đơn vị của lực ít được dùng đến như sthène tương đương với 1000 N và kip tương đương với 1000 lbf.

Danh sách các loại lực cơ bản

Lực	Ký hiệu	Đơn vị	Công thức toán
Trọng lực	$F_{g}$	$N$	$mg=m{\frac {GM}{r^{2}}}$
Phản lực	$F_{-}$	$N$	$mg=-F$
Áp lực	$F_{A}$	$N$	${\frac {F}{A}}$
Lực ma sát	$F_{u}$	$N$	$-uF$
Lực đàn hồi	$F_{x}$	$N$	$-kx$
Động lực	$F_{a}$	$N$	$ma=m{\frac {v}{t}}$
Lực hướng tâm	$F_{r}$	$N$	$m{\frac {\omega r}{t}}$
Lực ly tâm	$F_{v}$	$N$	$m{\frac {v^{2}}{r}}$
Lực tĩnh điện	$F_{Q}$	$N$	$K{\frac {Q_{+}Q_{-}}{r^{2}}}$
Lực động điện	$F_{E}$	$N$	$QE$
Lực động từ	$F_{B}$	$N$	$\pm QvB$
Lực điện từ	$F_{EB}$	$N$	$F_{E}+F_{B}=Q(E\pm vB)$

Đọc thêm

• Các lực trong tự nhiên. V. Grigoriev, G. Miakisev; Ngô Đặng Nhân dịch - Tái bản lần 1. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2002, 527tr

Tiếng Anh

• Corben, H.C. (1994). Classical Mechanics. Philip Stehle. New York: Dover publications. tr. 28–31. ISBN 0-486-68063-0.
• Cutnell, John D.; Johnson, Kenneth W. (2003). Physics, Sixth Edition. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Inc. ISBN 0471151831.
• Feynman, Richard P.; Leighton; Sands, Matthew (2010). The Feynman lectures on physics. Vol. I: Mainly mechanics, radiation and heat . New York: BasicBooks. ISBN 978-0465024933.
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2010). The Feynman lectures on physics. Vol. II: Mainly electromagnetism and matter . New York: BasicBooks. ISBN 978-0465024940.
• Halliday, David; Resnick, Robert; Krane, Kenneth S. (2001). Physics v. 1. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9.
• Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert J. (2010). An introduction to mechanics (ấn bản thứ 3). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521198216.
• Parker, Sybil (1993). “force”. Encyclopedia of Physics. Ohio: McGraw-Hill. tr. 107. ISBN 0-07-051400-3.
• Sears F., Zemansky M. & Young H. (1982). University Physics. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-07199-1.
• Serway, Raymond A. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Philadelphia: Saunders College Publishing. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (ấn bản thứ 5). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4.
• Verma, H.C. (2004). Concepts of Physics Vol 1 (ấn bản thứ 2004). Bharti Bhavan. ISBN 8177091875.

Liên kết ngoài

• Force tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Lực cơ học tại Từ điển bách khoa Việt Nam
• Video lecture on Newton's three laws Lưu trữ 2008-04-11 tại Wayback Machine by Walter Lewin from MIT OpenCourseWare
• A Java simulation on vector addition of forces
• Force Unit Converter