Kiểm tra Fermat

Kiểm tra Fermat là một thuật toán xác suất kiểm tra một số tự nhiên là hợp số hay là số nguyên tố.

Khái niệm

Định lý nhỏ Fermat phát biểu rằng nếu p là số nguyên tố và $1\leq a<p$, thì

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$.

Nếu ta muốn kiểm tra số n có là nguyên tố không, ta lấy ngẫu nhiên các số a' và kiểm tra xem đẳng thức trên có đúng không. Nếu nó không đúng với một giá trị a nào đó thì n là hợp số. Nếu đẳng thức đúng với nhiều giá trị của a, ta có thể nói rằng n là số nguyên tố với xác suất nào đó, hay là một số giả nguyên tố (pseudoprime).

Có thể phép thử sẽ cho ta một kết quả sai.

Số a mà

$a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$

trong khi n là hợp số được gọi là một giả Fermat.

Còn nếu có số a mà

$a^{n-1}\not \equiv 1{\pmod {n}}$

thì a được xem như một bằng chứng Fermat chứng tỏ n là hợp số.

Thuật toán và thời gian thi hành

Thuật toán có thể viết như sau:

Inputs: n: giá trị để kiểm tra tính nguyên tố; k: tham số tham gia vào quá trình kiểm tra

Output: hợp số nếu n là hợp số, nếu không nguyên tố xác suất

repeat k times:

lấy a ngẫu nhiên trong [1, n − 1]

if a^{n − 1} mod n ≠ 1 then

return composite

return probably prime

Khi dùng thuật toán tính nhanh luỹ thừa theo mođun, thời gian thi hành của thuật toán là O(k × log³n), ở đó k là số lần kiểm tra với mỗi số a ngãu nhiên, và n là giá trị ta muốn kiểm tra.

Khả năng vận dụng

Có khá nhiều giá trị của n là các số Carmichael mà với tất cả các giá trị của a sao cho ƯCLN(a,n)=1 là giả Fermat. Mặc dù các số Carmichael là rất hiếm, nhưng phép thử Fermat rất ít được dùng so với các phương pháp khác như kiểm tra Miller-Rabin hay kiểm tra Solovay-Strassen.

Nói chung, nếu n không là số Carmichael thì ít nhất một nửa các số

$a\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}$

là bằng chứng Fermat. Để chứng minh điều này, giả sử a là một bằng chứng Fermat và a₁, a₂,..., a_s là giả Fermat. Khi đó

$(a\cdot a_{i})^{n-1}\equiv a^{n-1}\cdot a_{i}^{n-1}\equiv a^{n-1}\not \equiv 1{\pmod {n}}$

và do đó tất cả a × a_i for i = 1, 2,..., s là bằng chứng Fermat.

Xem thêm

• Kiểm tra tính nguyên tố
• RSA (mã hóa)
• Pretty Good Privacy
• Pierre de Fermat