I-đê-an nguyên tố

Trong đại số, i-đê-an nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên.

I-đê-an nguyên tố trong các vành giao hoán

Một i-đê-an $I$ của một vành giao hoán $R$ được gọi là i-đê-an nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:^[1]^[2]

Nếu $a$ và $b$ là hai phần tử của $R$ sao cho tích $ab$ là phần tử của $I$ , thì $a$ là phẩn tử của $I$ hoặc $b$ là phần tử của $I$ .
$I$ không phải là toàn bộ vành $R$

Ví dụ

Với $R=\mathbb {Z} ,$ tập hợp các số chẵn là một i-đê-an nguyên tố, được ký hiệu là $2\mathbb {Z}$ .
Trong một vành $R$ , một i-đê-an tối đại là một i-đê-an $M$ tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các i-đê-an thực sự của $R$ , tức là $M$ được chứa trong chính xác hai i-đê-an của $R$ : $M$ và $R$ . Một i-đê-an tối đại thì là nguyên tố.^[2]
Nếu $X$ là một đa tạp trơn, $R={\mathcal {C}}^{\infty }(X)$ là vành các hàm thực trơn trên $X$ và $x$ là một điểm của $X$ thì tập hợp tất cả các hàm trơn $f$ với $f(x)=0$ tạo thành một i-đê-an tối đại, và do đó nguyên tố, của $R$ .

Tính chất

Một i-đê-an $I$ của một vành $R$ (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương $R/I$ là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi $(0)$ là một i-đê-an nguyên tố.^[1]
Tổng của hai i-đê-an nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành $\mathbb {C} [x,y]$ có các i-đê-an nguyên tố $P=(x^{2}+y^{2}-1)$ và $Q=(x)$ . Tổng của chúng là $P+Q=(x^{2}+y^{2}-1,x)=(x,y^{2}-1)$ không phải là nguyên tốt: $y^{2}-1=(y-1)(y+1)\in P+Q$ nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong $P+Q$ .

I-đê-an nguyên tố trong các vành không giao hoán

Các i-đê-an hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau:^[3]^[4]: một i-đê-an (hai phía) $I$ của một vành $R$ (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một i-đê-an nguyên tố nếu $I\neq R$ và với mọi i-đê-an (hai phía) ${\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}}\subset R$ , ta có: ${\mathfrak {A}}\cdot {\mathfrak {B}}\subset I\implies {\mathfrak {A}}\subset I{\text{ hoặc }}{\mathfrak {B}}\subset I$ .

Tham khảo

^ ^a ^b Kaplansky (1970), tr. 1
^ ^a ^b Lang (2002), tr. 92
^ Lam (2001), tr. 165
^ Lưu ý rằng Lam sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "two-sided ideal". Xem Lam (2001), tr. 3 (trong khi một số tác giả sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "left ideal").

Thư mục

Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, An Introduction to noncommutative Noetherian rings
Kaplansky, Irving, 1970, Commutative rings
Lam, T. Y., 2001, A first course in non commutative rings
Lang, Serge, 2002, Algebra

Liên kết ngoài

Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Prime ideal”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[:0-1] Kaplansky (1970), tr. 1

[:1-2] Lang (2002), tr. 92

[3] Lam (2001), tr. 165

[4] Lưu ý rằng Lam sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "two-sided ideal". Xem Lam (2001), tr. 3 (trong khi một số tác giả sử dụng quy ước "ideal" có nghĩa là "left ideal").

[1]

[2]

[3]

[4]