Hàm lồi chính thường

Trong giải tích toán học (đặc biệt là giải tích lồi) và tối ưu hóa, hàm lồi chính thường (proper convex function) là một hàm $f$ lấy giá trị trong trục số thực mở rộng sao cho

$f(x)<+\infty$

tại ít nhất một giá trị $x$ và

$f(x)>-\infty$

với mọi $x$. Điều đó có nghĩa là, một hàm lồi là chính thường nếu nó có miền hữu hiệu khác rỗng và không bao giờ đạt giá trị $-\infty$. Hàm lồi không có tính chính thường được gọi là hàm lồi phi chính thường (improper convex function).

Hàm lõm chính thường là một hàm $g$ sao cho $f=-g$ là hàm lồi chính thường.

Tính chất

Với mọi hàm lồi chính thường $f$ trên $\mathbb {R} ^{n}$, thì tồn tại $b$ thuộc $\mathbb {R} ^{n}$ và $\beta$ thuộc $\mathbb {R}$ sao cho

$f(x)\geq x\cdot b-\beta$

với mọi $x$.

Tổng của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi, nhưng có thể không phải là một hàm chính thường. Ví dụ, với hai tập lồi khác rỗng $A\subset X$ và $B\subset X$ trong không gian vectơ $X$, hai hàm chỉ thị $I_{A}$ và $I_{B}$ đều là hàm lồi chính thường, nhưng nếu $A\cap B=\emptyset$ thì $I_{A}+I_{B}$ luôn bằng $+\infty$.

Tổng chập infimal của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi nhưng chưa hẳn là một hàm chính thường.