Bất đẳng thức Markov

Trong lý thuyết xác suất, Bất đẳng thức Markov cho một chặn trên cho xác suất một hàm số không âm của một biến ngẫu nhiên nhận giá trị lớn hơn một hằng số dương. Nó được đặt tên theo nhà toán học Nga Andrey Markov, mặc dù nó đã xuất hiện trong nghiên cứu của Pafnuty Chebyshev (thầy của Markov), và có nhiều nguồn, đặc biệt là trong giải tích, gọi nó là bất đẳng thức Chebyshev hoặc bất đẳng thức Bienaymé.

Bất đẳng thức Markov cho một chặn trên của độ đo của tập hợp các giá trị của $x$ được đánh dấu đỏ, tại đó giá trị của một hàm không âm $f(x)\geq \epsilon$. Chặn trên này được tính bằng tỉ số giữa giá trị trung bình của $f$ và $\epsilon$

Bất đẳng thức Markov liên hệ xác suất với giá trị kỳ vọng, và cho một giới hạn (thường không chặt) cho giá trị của hàm phân phối tích lũy của một biến ngẫu nhiên.

Phát biểu

Nếu X là một biến ngẫu nhiên và a > 0, thì

$\Pr(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}.$

Dưới dạng ngôn ngữ của lý thuyết độ đo, bất đẳng thức Markov khẳng định rằng nếu (X, Σ, μ) là một độ đo, ƒ là một hàm đo được nhận giá trị thực, và $\epsilon >0$, thì

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}|f|\,d\mu .$

Hệ quả: bất đẳng thức Chebyshev

Bất đẳng thức Chebyshev sử dụng phương sai để chặn trên xác suất một biến ngẫu nhiên sai khác nhiều so với giá trị kỳ vọng. Cụ thể là:

$\Pr(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}},$

với mọi a>0. Ở đây Var(X) là phương sai của X, định nghĩa như sau:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].$

Có thể thu được bất đẳng thức Chebyshev bằng cách áp dụng bất đẳng thức Markov cho biến ngẫu nhiên $(X-\operatorname {E} (X))^{2}$. Theo bất đẳng thức Markov,

$\Pr((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},$

Chứng minh

Theo ngôn ngữ lý thuyết xác suất

Với một sự kiện E bất kì, đặt I_E là biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu E xảy ra và nhận giá trị 0 nếu E không xảy ra. Do đó I_{(|X| ≥ a)} = 1 nếu |X| ≥ a và I_{(|X| ≥ a)} = 0 nếu |X| < a. Do đó với mọi a > 0,

$aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|.\,$

Vì vậy

$\operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|).\,$

Theo tính chất tuyến tính của giá trị kỳ vọng,

$a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,$

Do đó

$a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,$

và do a > 0, ta có thể chia cả hai vế cho a và thu được bất đẳng thức Markov.

Theo ngôn ngữ lý thuyết độ đo

Không mất tính tổng quát giả sử $f$ nhận giá trị không âm do ta chỉ quan tâm đến giá trị tuyệt đối của $f$. Ta xét hàm s định nghĩa trên tập X như sau

$s(x)={\begin{cases}\epsilon ,&{\text{khi }}f(x)\geq \epsilon \\0,&{\text{khi }}f(x)<\epsilon \end{cases}}$

Hàm $s$ thỏa mãn $0\leq s(x)\leq f(x)$. Theo định nghĩa của tích phân Lebesgue

$\int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\epsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})$

và do $\epsilon >0$, có thể chia cả hai vế cho $\epsilon$ và thu được

$\mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \epsilon \})\leq {1 \over \epsilon }\int _{X}f\,d\mu .$

Xem thêm

• Bất đẳng thức McDiarmid
• Bất đẳng thức Bernstein (lý thuyết xác suất)