1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Trong toán học, 1 − 2 + 3 − 4 + ··· là một chuỗi vô hạn với các số hạng là những số nguyên dương liền tiếp và đan dấu với nhau. Sử dụng ký hiệu tổng sigma để biểu diễn tổng của m số hạng đầu tiên của chuỗi này:

15.000 số hạng đầu tiên từ 0 + 1 - 2 + 3 - 4 +.... Trên hình, số nguyên dương được sắp xếp bên phải, số nguyên âm ở bên trái.

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Chuỗi vô hạn này phân kỳ, nghĩa là dãy các tổng hữu hạn của chuỗi số, (1, −1, 2, −2,...), không hội tụ về một giới hạn. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ thứ 18, Leonhard Euler đã đưa ra một phương trình nghịch lý:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Cho đến mãi sau này mới có một lời giải chính xác về phương trình này.

Chuỗi 1 − 2 + 3 − 4 +... có quan hệ gần gũi với chuỗi Grandi: 1 − 1 + 1 − 1 +.... Euler đã coi hai chuỗi này là các trường hợp đặc biệt của chuỗi 1 − 2n + 3n − 4n +... với mọi n.

Sự phân kỳ

Các số hạng của tổng (1, −2, 3, −4,...) không tiếp cận số 0, vậy nên 1 − 2 + 3 − 4 +... là một chuỗi phân kỳ. Có thể chỉ ra sự phân kỳ trên một mức độ cơ bản. Theo định nghĩa, một chuỗi vô hạn hội tụ hay phân kỳ phụ thuộc vào dãy các tổng riêng của nó hội tụ hay phân kỳ. Các tổng riêng của 1 − 2 + 3 − 4 +... là:

1 = 1;

1 − 2 = −1;

1 − 2 + 3 = 2;

1 − 2 + 3 − 4 = −2;

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3;

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3;

...

Dãy số này rất đáng ghi nhận vì mỗi số nguyên chỉ xuất hiện một lần—kể cả 0 nếu tính luôn tổng riêng rỗng—và qua đó củng cố ý tưởng rằng tập hợp $\mathbb {Z}$ các số nguyên đếm được. Dãy các tổng riêng rõ ràng cho thấy chuỗi không hội tụ vào một số cụ thể nào đó, nên 1 − 2 + 3 − 4 +... phân kỳ.

Heuristic cho phép lấy tổng

Tính ổn định và sự tuyến tính

Vì các số hạng 1, −2, 3, −4, 5, −6,... tuân theo một quy luật đơn giản, chuỗi 1 − 2 + 3 − 4 +... có thể được lợi dụng bằng cách chuyển chỗ và cộng từng số hạng để có thể cho ra kết quả là một con số. Nếu có thể viết s = 1 − 2 + 3 − 4 +... với một con số s bình thường, những bước sau củng cố ý tưởng rằng s = ¹⁄₄:

${\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}$

Cộng 4 lần 1 − 2 + 3 − 4 +..., using only shifts and term-by-term addition, cho ra kết quả bằng 1

Vậy $s={\frac {1}{4}}$.

Xem thêm

• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯

Tham khảo

• Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. (1 tháng 5 năm 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (2006). “Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series”. The Euler Archive. Truy cập ngày 22 tháng 3 năm 2007.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết) Ban đầu được xuất bản là Euler, Leonhard (1768). “Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques”. Memoires de l'academie des sciences de Berlin. 17: 83–106.
• Ferraro, Giovanni (1 tháng 6 năm 1999). “The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics”. Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101–135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 91075377.
• Kline, Morris (1 tháng 11 năm 1983). “Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307–314. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371.
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1.
• Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (ấn bản thứ 3). Hindustan Pub. Corp. LCCN 68017528.
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński (1996). Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
• Tucciarone, John (1 tháng 1 năm 1973). “The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925”. Archive for History of Exact Sciences. 10 (1–2): 1–40. doi:10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0-387-00836-5.
• Weidlich, John E. (1 tháng 6 năm 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.