Đạo hàm

Bài này viết về khái niệm được sử dụng trong vi tích phân. Đối với nhánh con của vi tích phân làm việc với đạo hàm, xem Vi phân.

Trong toán học, đạo hàm (Tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động, khi mà công cụ này giúp đo lường tốc độ mà đối tượng đó thay đổi tại một thời điểm xác định.

Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).

Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại chính điểm đó. Tiếp tuyến này cũng đồng thời là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất có thể tìm được của hàm số lân cận với giá trị đã cho. Bởi lý do này, đạo hàm thường được mô tả là "tốc độ thay đổi tức thời", với tỉ lệ thay đổi tức thời phụ thuộc vào biến độc lập của hàm số.

Đạo hàm có thể được khái quát hóa cho hàm số đa biến, ở đó nó được định nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính có đồ thị là xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của đồ thị hàm số ban đầu. Ma trận Jacobi là ma trận dùng để mô tả phép biến đổi tuyến tính đó đối với chuẩn được cho bởi các biến độc lập và biến phụ thuộc, có thể được tính nhờ các đạo hàm riêng đối với biến độc lập. Với một hàm số thực đa biến, ma trận Jacobi được rút gọn về vectơ gradien.

Quá trình tính toán đạo hàm của một hàm số được gọi là tìm vi phân, phép toán ngược với phép lấy đạo hàm là nguyên hàm, và định lý cơ bản của giải tích thể hiện mối quan hệ giữa tích phân với nguyên hàm. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.

Định nghĩa

Một hàm số thực f(x) có đạo hàm hay khả vi (tiếng Anh: differentiable) tại điểm a trên miền xác định của nó nếu như trên khoảng mở I có chứa a, giới hạn
$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$
tồn tại. Điều này có nghĩa rằng, với mọi số thực dương $\varepsilon$ (kể cả rất nhỏ), tồn tại một số thực dương $\delta$ sao cho với mỗi số h sao cho $|h|<\delta$ và $h\neq 0$, khi đó $f(a+h)$ được xác định và $\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$
với hai dấu gạch ngang thể hiện giá trị tuyệt đối
Khi đó, nếu f khả vi tại a, giới hạn L tồn tại hay hội tụ, giới hạn này khi đó được gọi là đạo hàm của f tại a và được kí hiệu là $f'(a)$ (đọc là đạo hàm của f tại a) hay ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ (đọc là thương của số gia của đối số trên số gia của hàm số tại a)

Vi phân

Bài chi tiết: Vi phân

Vi phân (differentiation) là quá trình để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số y = f(x), với x là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của y tương ứng với độ biến thiên của x và còn được gọi là đạo hàm của f đối với x. Nếu x và y đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong hệ tọa độ Descartes.

Độ dốc của hàm số bậc nhất: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Xét trường hợp đơn giản nhất: gọi y là một hàm số bậc nhất biến x có đồ thị là một đường thẳng. Trong trường hợp này, y = f(x) = mx + b với m và b là số thực và hệ số góc m được tính bằng

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

trong đó Δ (delta) là viết tắt của "thay đổi", Δx (số gia của đối số) và Δy (số gia tương ứng của hàm số) chỉ sự biến thiên của x và y, $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$. Công thức trên là đúng do:

${\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}$

Suy ra

$\Delta y=m\Delta x.$

Biểu thức trên cho biết giá trị hệ số góc của một đường thẳng.

Xác định tốc độ thay đổi của hàm số bằng hình học

Hình 1. Tiếp tuyến tại (x, f(x))

Hình 2. Cát tuyến của đường cong y= f(x) tại 2 điểm (x, f(x)) và (x + h, f(x + h))

Hình 3. Khi h tiến dần về 0 thì cát tuyến trên trở thành tiếp tuyến của đồ thị

Hình 4. Hình ảnh động: tiếp tuyến của đồ thị là giới hạn của cát tuyến khi h tiến về 0.

Nếu f không phải là hàm bậc nhất (đồ thị của nó không phải là đường thẳng) thì tỉ số giữa mức thay đổi của y và mức thay đổi của x sẽ khác nhau trên khoảng được xét: phép vi phân là một cách để tìm một giá trị duy nhất của tốc độ thay đổi đó tại bất kỳ giá trị nào của x. Ý tưởng này được thực hiện bằng cách tìm giới hạn của Δy/Δx khi Δx tiến dần về 0, thể hiện qua các hình 1, 2, 3.

Định nghĩa và Ý nghĩa hình học

Một cát tuyến dần trở thành tiếp tuyến khi $\Delta x\to 0$.

Cách tiếp cận phổ biến nhất để chuyển ý tưởng trực quan này thành định nghĩa rõ ràng là xác định rằng đạo hàm là giới hạn của tỉ sai phân của các số thực.

Gọi f là hàm số thực xác định trên một lân cận mở của số thực a. Trong hình học cổ điển, tiếp tuyến của đồ thị hàm f tại a là đường thẳng duy nhất đi qua điểm (a, f(a)) thuộc đồ thị và không cắt ngang qua nó. Về mặt hình học, đạo hàm của y đối với x tại a là hệ số góc m của tiếp tuyến đó tại (a, f(a)). Giá trị này rất gần với hệ số góc của đường cát tuyến cắt đồ thị tại (a, f(a)) và một điểm lân cận (a + h, f(a + h)). Nếu

$m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Biểu thức trên được gọi là tỉ sai phân Newton. Để đạt được kết quả chính xác nhất thì có thể dùng đến khái niệm giới hạn. Vì về mặt hình học, giới hạn của cát tuyến là tiếp tuyến của đồ thị nên giới hạn của biểu thức khi h tiến về 0 (nếu có) là hệ số góc của tiếp tuyến tại (a, f(a)). Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f tại a:

$f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Khi giới hạn này tồn tại, f được gọi là hàm số khả vi tại a. Từ định nghĩa này, rõ ràng hàm số khả vi f là hàm số tăng khi và chỉ khi đạo hàm của nó dương, và là hàm số giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó âm. Tính chất này thường được ứng dụng trong việc khảo sát tính đơn điệu của hàm, chẳng hạn như tìm các điểm cực trị.

Một cách tương đương, đạo hàm thỏa mãn tính chất

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)\cdot h)}{h}}=0,$

và tính chất này có thể được hiểu bằng cách trực quan rằng tiếp tuyến của f tại a (hình 1) cho xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$

đối với hàm f tại một điểm gần a (hay h nhỏ).

Thay h bằng 0 trong tỉ sai phân dẫn đến phép chia cho số 0, nên hệ số góc của tiếp tuyến không thể tìm được trực tiếp bằng cách này. Thay vào đó, ta đặt Q(h) là một hàm số biến h bằng với tỉ sai phân:

$Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$

Q(h) là hệ số góc của cát tuyến giữa (a, f(a)) và (a + h, f(a + h)). Nếu f là hàm số liên tục, nghĩa là đồ thị của nó không bị đứt đoạn hay bẻ gập, thì Q là hàm số liên tục cách xa điểm h = 0. Nếu giới hạn lim_h→0Q(h) tồn tại, tức là có thể gán cho Q(0) một giá trị bất kỳ để Q là hàm số liên tục, thì f khả vi tại a và đạo hàm của nó tại a bằng Q(0).

Trong thực tế, sự tồn tại tính liên tục của tỉ sai phân Q(h) tại h = 0 có thể được chứng minh bằng cách biến đổi tử số để loại h ở mẫu số. Phép biến đổi như vậy có thể giúp xác định giá trị giới hạn của Q với h nhỏ, dù Q vẫn không xác định tại h = 0. Quá trình này có thể kéo dài với các hàm phức tạp, và nhiều kỹ thuật lối tắt có thể được dùng để rút ngắn quá trình đó.

Phương trình tiếp tuyến

Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $A(a;f(a))$ là $y-f(a)=f'(a)(x-a)$

Ví dụ

Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai f(x) = x² có đạo hàm tại x = 3 và đạo hàm đó bằng 6. Điều này có được bằng cách tính giới hạn của tỉ sai phân của f(3) khi h tiến về 0:${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}$

Ta thấy tỉ sai phân trên là 6 + h khi h ≠ 0 và không xác định khi h = 0. Giới hạn của nó là kết quả của việc cho h về 0 và là giá trị của 6 + h khi h trở nên rất nhỏ:

$\lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.$

Vậy hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm (3, 9) là 6 và đạo hàm của hàm số tại x = 3 là f′(3) = 6.

Tổng quát, đạo hàm của hàm số bậc hai tại x = a là f′(a) = 2a:

${\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}$

Tính khả vi và tính liên tục

Hàm số này không có đạo hàm tại điểm được đánh dấu vì nó không liên tục tại đó.

Nếu f có đạo hàm tại a thì f cũng phải liên tục trên a. Lấy ví dụ, chọn một điểm a và coi f như là một hàm bước có giá trị là 1 với mọi x nhỏ hơn a và 10 với mọi x lớn hơn hoặc bằng a. f không thể có đạo hàm tại a. Nếu h âm thì cát tuyến từ a đến a + h sẽ rất dốc, và khi h dần về 0 thì hệ số góc sẽ dần đến vô cực. Nếu h dương thì cát tuyến từ a đến a + h có hệ số góc bằng 0. Trong mỗi trường hợp trên, cát tuyến không đạt đến một hệ số góc duy nhất, nên giới hạn của tỉ sai phân không tồn tại.

Hàm giá trị tuyệt đối là hàm liên tục, nhưng không khả vi tại x = 0 vì các giá trị hệ số góc của tiếp tuyến vẽ từ bên trái trục tung và từ bên phải trục tung là không bằng nhau

Tuy vậy, một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm giá trị tuyệt đối f(x) = | x | liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Nếu h dương thì hệ số góc của cát tuyến từ 0 đến h là 1, còn nếu h âm thì hệ số góc đó bằng -1. Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số đó bị "bẻ gập" tại x = 0. Kể cả hàm số có đồ thị trơn cũng không khả vi tại một điểm mà tiếp tuyến qua nó nằm dọc, chẳng hạn, hàm số f(x) = x^1/3 không có đạo hàm tại x = 0.

Tóm lại, một hàm số có đạo hàm là hàm số liên tục, nhưng có những hàm liên tục lại không có đạo hàm.

Phần lớn hàm số trong thực tế có đạo hàm tại mọi điểm (hoặc tại hầu hết mọi điểm). Trong thời kì đầu của lịch sử ngành giải tích, nhiều nhà toán học cho rằng một hàm số liên tục luôn có đạo hàm tại nhiều điểm. Năm 1872, Weierstrass phát hiện ví dụ đầu tiên về một hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi tại bất cứ đâu. Hàm đó sau này được đặt tên là hàm Weierstrass. Năm 1931, Stefan Banach chứng minh được rằng tập hợp các hàm số có đạo hàm tại một số điểm nhất định là tập con rất nhỏ so với tập hợp các hàm liên tục.

Đạo hàm là một hàm số

Đạo hàm của một hàm khả vi tại các điểm khác nhau. Ở đây ta có $f'(x)=\sin {\bigl (}x^{2}{\bigr )}+2x^{2}\cos {\bigl (}x^{2}{\bigr )}$

Gọi f là hàm số luôn có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định. Chúng ta có thể tìm được một hàm số mà với x bất kì, giá trị của hàm bằng với giá trị của đạo hàm của f tại x. Hàm số đó được gọi là đạo hàm của f và kí hiệu là f'.

Thỉnh thoảng f có đạo hàm tại phần lớn điểm trên tập xác định (không phải mọi điểm). Hàm số mà giá trị của nó tại a bằng f′(a) khi f′(a) xác định, và không xác định tại mọi điểm khác, cũng được gọi là đạo hàm của f, dù tập xác định của nó hoàn toàn nhỏ hơn.

Bằng ý tưởng này, phép vi phân trở thành một hàm hợp: đạo hàm là một toán tử mà tập xác định của nó là tập hợp tất cả các hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định và tập hợp đích của nó là một tập hợp các hàm số. Kí hiệu toán tử trên là D thì D(f) là hàm số f'. D(f) là hàm số xác định tại a nên ta có D(f)(a) = f′(a).

Để so sánh, ta xét hàm số f(x) = 2x: f là hàm số thực có đầu vào là một số, đầu ra cũng là một số:

${\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}$

Toán tử D chỉ xác định trên các hàm số:

${\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}$

Đầu ra của D là một hàm số, có thể định được giá trị tại một điểm. Ví dụ: đầu vào của D là x ↦ x² cho đầu ra x ↦ 2x mà ta gọi là f(x). Các giá trị tương ứng của đầu ra đó là f(1) = 2, f(2) = 4,...

Đạo hàm cấp cao

Gọi f là hàm số khả vi và f ' là đạo hàm của nó. Đạo hàm của f ' (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp hai của f và kí hiệu là f ′′. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp ba của f và kí hiệu là f ′′′. Cứ như vậy, ta xác định đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo hàm cấp n-1. Các đạo hàm trên được gọi chung là đạo hàm cấp cao.

Nếu x(t) mô tả vị trí của một vật ở thời gian t thì mỗi đạo hàm cấp cao của x mang một ý nghĩa riêng trong vật lý. Đạo hàm cấp một của x là vận tốc của vật. Đạo hàm cấp hai của x là gia tốc. Đạo hàm cấp ba của x là độ giật,...

Một hàm số f(x) không cần phải có đạo hàm (chẳng hạn, nếu hàm đó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi f(x) có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Chẳng hạn, cho hàm số

$f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{khi }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{khi }}x\leq 0.\end{cases}}$

f là hàm số khả vi và đạo hàm của nó tại x là

$f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{khi }}x\geq 0\\-2x,&{\text{khi }}x\leq 0.\end{cases}}$

f'(x) không có đạo hàm tại x = 0. Những ví dụ tương tự cho thấy một hàm số có thể có đạo hàm cấp k (với k là số nguyên dương) nhưng không có đạo hàm cấp k + 1. Một hàm số có k đạo hàm liên tiếp thì khả vi k lần. Nếu đạo hàm thứ k là liên tục thì hàm số sẽ thuộc lớp khả vi C^k. Một hàm số có vô số đạo hàm là hàm khả vi vô hạn.

Trên trục số thực, mọi hàm số đa thức đều là hàm khả vi vô hạn. Theo quy tắc tính đạo hàm, đa thức bậc n sau n lần vi phân sẽ thành hàm hằng, và mọi đạo hàm tiếp theo đều bằng 0.

Đạo hàm của hàm số f tại một điểm x cho ta phép tính đa thức gần đúng với một hàm f(x). Ví dụ, nếu f (x)khả vi hai lần thì

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}$

vì

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.$

Nếu f khả vi vô hạn thì đây là phần đầu của chuỗi Taylor với f tính được tại x + h gần với x.

Điểm uốn

Bài chi tiết: Điểm uốn

Một điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số đổi dấu được gọi là điểm uốn. Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai có thể bằng 0 (như tại điểm uốn x = 0 của hàm số $f(x)=x^{3}$) hoặc không tồn tại (như tại điểm uốn x = 0 của hàm số $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$). Tại điểm uốn, hàm số chuyển từ hàm lồi sang hàm lõm và ngược lại.

Ký hiệu

Bài chi tiết: Ký hiệu vi phân

Ký hiệu của Leibniz

Bài chi tiết: Ký hiệu của Leibniz

Các kí hiệu $dx$, $dy$ và ${\frac {dy}{dx}}$ được giới thiệu lần đầu tiên bởi Gottfried Wilhelm Leibniz vào năm 1675.

Quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm số có thể được tính theo định nghĩa bằng cách tìm tỉ sai phân của hàm và tính giới hạn của nó. Trong thực tế, từ một số hàm đơn giản, đạo hàm của các hàm số khác phức tạp được tính dễ dàng hơn bằng cách áp dụng các quy tắc nhất định.

Đạo hàm của hàm số sơ cấp

Dưới đây là quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, với a hoặc $\alpha$ là một số thực.

• Đạo hàm của hàm lũy thừa: $(x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}$
  • Đặc biệt: $\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}$
  • Đạo hàm căn bậc hai: $({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$
  • Đạo hàm căn bậc n: $({\sqrt[{n}]{x}})'={\frac {\sqrt[{n}]{x^{1-n}}}{n}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$
• Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$(e^{x})'=e^{x}$

$(a^{x})'=a^{x}\ln a$

$(\ln x)'={\frac {1}{x}}(x>0)$

$(\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\ln a}}$

• Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\tan x)'=1+{\tan ^{2}x}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

$(\cot x)'=-(1+{\cot ^{2}x})=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$

• Đạo hàm của hàm lượng giác ngược:

$(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad (-1<x<1)$

$(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\qquad (-1<x<1)$

$(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

$(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Đạo hàm của hàm hợp

Nhiều lúc việc tính đạo hàm bằng tỉ sai phân Newton rất phức tạp, ta có thể tránh điều này qua một số quy tắc sau:

• Đạo hàm của hằng số: $(C)'=0$
• Quy tắc cộng: $(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$ với mọi hàm số f và g và mọi số thực $\alpha$ và $\beta$. (1)
• Quy tắc nhân:

$(fg)'=f'g+fg'$ với mọi hàm số f và g.

$(\alpha f)'=\alpha f'$ với $\alpha$ là hằng số. (2)

• Quy tắc chia: $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ (g khác 0)
• Quy tắc hàm hợp: Nếu $f(x)=h(g(x))$ thì $f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).$

Các quy tắc (1) và (2) cho thấy đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính.

Hệ quả

Từ các quy tắc trên, ta suy ra:

• Với u là hàm số:
  • Đạo hàm lũy thừa: $(u^{n})'=u'nu^{n-1}$
    • Đặc biệt: $\left({\frac {1}{u}}\right)'=-{\frac {u'}{u^{2}}}$
  • Đạo hàm căn bậc hai: $({\sqrt {u}})'={\frac {u'}{2{\sqrt {u}}}}$
  • Đạo hàm căn bậc n: $({\sqrt[{n}]{u}})'={\frac {u'}{n{\sqrt[{n}]{u^{n-1}}}}}$
  • Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$(e^{u})'=u'e^{u}$

$(a^{u})'=u'a^{u}\ln a$

$(\ln u)'={\frac {u'}{u}}$

$(\log _{a}{u})'={\frac {u'}{u\ln a}}$

• Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin u)'=u'\cos u$

$(\cos u)'=-u'\sin u$

$(\tan u)'=u'(1+{\tan ^{2}u})={\frac {u'}{\cos ^{2}u}}$

$(\cot u)'=-u'(1+{\cot ^{2}u})=-{\frac {u'}{\sin ^{2}u}}$

• Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ:

$\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)'={\frac {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}{(cx+d)^{2}}}={\frac {ad-bc}{(cx+d)^{2}}}$

$\left({\frac {ax^{2}+bx+c}{ex+f}}\right)'={\frac {aex^{2}+2afx+(bf-ce)}{(ex+f)^{2}}}$

$\left({\frac {a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}}{a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}}}\right)'={\frac {{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}x^{2}+2{\begin{vmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}x+{\begin{vmatrix}b_{1}&c_{1}\\b_{2}&c_{2}\end{vmatrix}}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})^{2}}}$

Đạo hàm cấp cao

• Đạo hàm lũy thừa: $(x^{m})^{(n)}={\begin{cases}m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n}&(m\geq n)\\0&(m<n)\end{cases}}$
• Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$(\log _{a}x)^{(n)}=(-1)^{n-1}{\frac {(n-1)!}{\ln a}}{\frac {1}{x^{n}}}$

$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}$

$(e^{kx})^{(n)}=k^{n}e^{kx}$

$(a^{x})^{(n)}=(\ln a)^{n}a^{x}$

• Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin ax)^{(n)}=a^{n}\sin \left(ax+{\frac {n\pi }{2}}\right)$

$(\cos ax)^{(n)}=a^{n}\cos \left(ax+{\frac {n\pi }{2}}\right)$

• Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: $\left({\frac {1}{ax+b}}\right)^{(n)}=(-1)^{n}a^{n}n!{\frac {1}{(ax+b)^{n+1}}}$

Đạo hàm trong không gian

Hàm vectơ

Hàm vectơ y của một biến số thực cho giá trị vectơ trong không gian Rⁿ với mỗi số thực bất kì. Một hàm vectơ có thể được chia thành các hàm tọa độ y₁(t), y₂(t),..., y_n(t), tức là y(t) = (y₁(t),..., y_n(t)). Nó cũng bao gồm các phương trình tham số tại R² hay R³. Các hàm tọa độ này là hàm số thực, nên định nghĩa đạo hàm cũng đúng với chúng. Đạo hàm của y(t) là một vectơ, được gọi là vectơ tiếp tuyến, mà tọa độ của nó là đạo hàm của các hàm tọa độ, nghĩa là:

${\textbf {y}}'(t)=(y_{1}'(t),...,y_{n}'(t))$

hay

${\textbf {y}}'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {{\textbf {y}}(t+h)-{\textbf {y}}(t)}{h}}$

nếu giới hạn đó tồn tại. Ở đây tử thức là một đại lượng vectơ, không phải đại lượng vô hướng. Nếu đạo hàm của y tồn tại với mọi giá trị của t thì y' cũng là một hàm vectơ.

Nếu e₁,..., e_n là các vectơ đơn vị trong Rⁿ thì y(t) có thể được viết thành y₁(t)e₁ +... + y_n(t)e_n. Vì mỗi vectơ đơn vị đều là hằng số nên theo quy tắc nhân:

${\textbf {y}}'(t)=y_{1}'(t){\textbf {e}}_{1}+...+y_{n}'(t){\textbf {e}}_{n}$

Trong vật lý, nếu y(t) là vectơ vị trí của một chất điểm tại thời điểm t thì y'(t) là vectơ vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t.

Đạo hàm riêng

Bài chi tiết: Đạo hàm riêng

Gọi f là hàm số đa biến, chẳng hạn:

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$

f còn được gọi là họ các hàm một biến được biểu thị bởi biến số khác:

$f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}$

Nói cách khác, mỗi giá trị của x xác định một hàm đơn biến f_x:

$x\mapsto f_{x},$

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Chọn một giá trị x = a, ta có hàm số f_a:

$f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.$

Ở đây a là hằng số, không phải là biến nên f_a là hàm đơn biến. Theo định nghĩa đạo hàm đơn biến thì

$f_{a}'(y)=a+2y.$

Lặp lại tương tự với mọi giá trị khác của a. Tổng hợp lại, ta có hàm số biểu diễn sự biến thiên của f theo y:

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.\,$

Đó là đạo hàm riêng của f theo y. Ở đây ∂ được gọi là kí hiệu đạo hàm riêng. Tổng quát, đạo hàm riêng của hàm f(x₁,..., x_n) theo hướng x_i tại điểm (a₁,..., a_n) là:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}.$

Trong tỉ sai phân trên, mọi biến trừ x_i đều mang giá trị không đổi, nên hàm đơn biến sau được xác định:

$f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

và theo định nghĩa:

${\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(x_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Nói cách khác, với các giá trị khác nhau của a, ta xác định được một họ các hàm đơn biến như ví dụ trên đây.

Một ví dụ quan trọng của hàm đa biến là trường hợp một hàm vô hướng f(x₁,..., x_n) xác định trên một miền của không gian Euclid Rⁿ (chẳng hạn, R² hay R³). Trong trường hợp này, f có đạo hàm riêng ∂f/∂x_j với mỗi biến x_j. Tại điểm (a₁,..., a_n), các đạo hàm riêng này định ra vectơ

$\nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right).$

Vectơ này được gọi là gradien của f tại a. Nếu f khả vi tại mọi điểm trong miền xác định thì gradien là một hàm vectơ ∇f đưa một điểm (a₁,..., a_n) đến vectơ ∇f(a₁,..., a_n). Do đó, gradien là một trường vectơ.

Đạo hàm có hướng

Nếu f là hàm số thực trên Rⁿ thì đạo hàm riêng của f mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Chẳng hạn, nếu f là một hàm gồm hai biến x và y thì các đạo hàm riêng của f biểu diễn sự biến thiên của nó theo hai trục x và y. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của f theo các trục khác (như đường thẳng y = x). Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm có hướng. Chọn một vectơ

${\textbf {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n}).$

Đạo hàm có hướng của f theo hướng của v tại điểm x là giới hạn

$D_{\textbf {v}}f({\textbf {x}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\textbf {x}}+h{\textbf {v}})-f({\textbf {x}})}{h}}.$

Trong nhiều trường hợp, để hỗ trợ tính toán, ta thường thay đổi độ dài vectơ để quy về bài toán tính đạo hàm có hướng theo một vectơ đơn vị. Để chứng minh hiệu quả, ta đặt v = λu. Thay h = k/λ vào tỉ sai phân, ta có:

${\frac {f({\textbf {x}}+(k/\lambda )(\lambda {\textbf {u}}))-f({\textbf {x}})}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f({\textbf {x}}+k{\textbf {u}})-f({\textbf {x}})}{k}}.$

hay bằng λ lần tỉ sai phân của đạo hàm có hướng của f theo u. Hơn nữa, việc lấy giới hạn khi h tiến về 0 cũng giống như khi k tiến về 0 vì h và k là bội số của nhau. Do đó, D_v(f) = λD_u(f). Vì tính chất này nên thường ta chỉ xét đạo hàm có hướng đối với các vectơ đơn vị.

Nếu tất cả đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì chúng xác định đạo hàm có hướng của f theo hướng của v bằng công thức:

$D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.$

Đó là hệ quả của định nghĩa đạo hàm tổng. Theo đó, đạo hàm có hướng tuyến tính trên v, nghĩa là D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

Định nghĩa trên cũng đúng khi f là hàm số lấy giá trị trong R^m. Khi đó, đạo hàm có hướng là một vectơ trong R^m.

Đạo hàm tổng, vi phân tổng và ma trận Jacobi

Bài chi tiết: Đạo hàm toàn phần

Khi f là hàm số xác định trên một tập mở của Rⁿ đến R^m thì đạo hàm có hướng của f theo một hướng xác định là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại điểm đó và theo hướng đó. Nhưng khi n > 1 thì không đạo hàm có hướng nào có thể mô tả trạng thái biến thiên của f một cách toàn diện. Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm tổng. Với mỗi vectơ v bắt đầu tại a, ta có:

$f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})\approx f({\textbf {a}})+f'({\textbf {a}}){\textbf {v}}.$

Giống như đạo hàm đơn biến, f'(a) được chọn sao cho sai số trong biểu thức là thấp nhất có thể.

Nếu n và m cùng bằng 1 thì đạo hàm f'(a) là một số và f'(a)v là tích của hai số. Nhưng trong không gian, f'(a) không thể là một số, vì nếu vậy thì f'(a)v phải là một vectơ trên Rⁿ và số hạng còn lại là vectơ trên R^m, đó là điều vô lý. Do đó, f'(a) phải là một hàm đưa vectơ ở Rⁿ đến vectơ ở R^m và f'(a)v phải chứng tỏ hàm đó xác định tại v.

Để tìm xem hàm đó có dạng gì, chú ý rằng phép xấp xỉ tuyến tính có thể được viết lại thành

$f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}})\approx f'({\textbf {a}}){\textbf {v}}.$

Nếu ta chọn một vectơ w khác v thì biểu thức này xác định thêm một phép xấp xỉ tuyến tính khác bằng cách thay v bằng w. Nó cũng xác định một phép xấp xỉ tuyến tính thứ ba bằng cách thay v bằng w và thay a bằng a + v. Trừ vế cho vế ở hai biểu thức trên, ta được

$f({\textbf {a}}+{\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {w}})+f({\textbf {a}})\approx f'({\textbf {a}}+{\textbf {v}}){\textbf {w}}-f'({\textbf {a}}){\textbf {w}}.$

Nếu coi v là nhỏ và đạo hàm đó biến đổi liên tục trên a thì f'(a + v) xấp xỉ bằng f'(a) nên vế phải xấp xỉ bằng 0. Bằng cách ứng dụng phép xấp xỉ tuyến tính với v thay bằng v + w, ta viết lại vế trái như sau:

${\begin{aligned}0&\approx f({\textbf {a}}+{\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}}+{\textbf {w}})+f({\textbf {a}})\\&=(f({\textbf {a}}+{\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}))-(f({\textbf {a}}+{\textbf {v}})-f({\textbf {a}}))-(f({\textbf {a}}+{\textbf {w}})-f({\textbf {a}}))\\&\approx f'({\textbf {a}})({\textbf {v}}+{\textbf {w}})-f'({\textbf {a}}){\textbf {v}}-f'({\textbf {a}}){\textbf {w}}.\\\end{aligned}}$

Điều này chứng tỏ rằng f'(a) là phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ Rⁿ sang không gian vectơ R^m.

Thực tế, đạo hàm đơn biến là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất vì đó là giới hạn của tỉ sai phân. Tuy nhiên, biểu thức này không hợp lý trong không gian, vì không phải lúc nào ta cũng thực hiện được phép chia các vectơ. Đặc biệt, trong tỉ sai phân, tử thức và mẫu thức không thuộc cùng một không gian vectơ: tử thuộc tập con Rⁿ còn mẫu thuộc tập R^m. Hơn nữa, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, do đó, để f'(a) là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất thì cần điều chỉnh một công thức khác cho đạo hàm đơn biến để giải quyết vấn đề. Nếu f: R → R, ta biến đổi biểu thức để cho thấy đạo hàm của f tại a là một số f'(a) duy nhất sao cho

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)}{h}}=0$

hoặc đồng nghĩa với

$\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-(f(a)+f'(a)h)|}{|h|}}=0$

vì giới hạn của biểu thức bằng 0 khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của nó tiến về 0. Biểu thức cuối có thể áp dụng được cho hàm đa biến bằng cách thay giá trị tuyệt đối bằng chuẩn.

Do đó, người ta định nghĩa: Đạo hàm tổng của f tại a là phép biến đổi tuyến tính duy nhất f'(a): Rⁿ → R^m sao cho

$\lim _{{\textbf {h}}\to 0}{\frac {\|f({\textbf {a}}+{\textbf {h}})-(f({\textbf {a}})+f'({\textbf {a}}){\textbf {h}})\|}{\|{\textbf {h}}\|}}=0.$

Nếu đạo hàm tổng này tồn tại ở a thì tất cả đạo hàm riêng và đạo hàm có hướng của f đều tồn tại ở a, và với mọi v, f'(a)v là đạo hàm có hướng của f theo hướng v. Nếu ta viết lại f theo các hàm tọa độ, tức là f = (f₁, f₂,..., f_m) thì đạo hàm tổng có thể được biểu thị bằng cách coi các đạo hàm riêng như là một ma trận. Ma trận đó được gọi là ma trận Jacobi của f tại a:

$f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.$

Nếu đạo hàm riêng tồn tại và liên tục thì đạo hàm tổng tồn tại, được xác định bằng ma trận Jacobi và phụ thuộc liên tục vào a.

Định nghĩa đạo hàm tổng còn gộp vào thêm định nghĩa đạo hàm đơn biến, tức là, nếu f là hàm số thực đơn biến thì đạo hàm tổng tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm thường của nó tồn tại. Ma trận Jacobi khi đó được thu gọn thành ma trận 1×1, trong đó đạo hàm f'(x) là phần tử duy nhất. Ma trận 1×1 này thỏa mãn tính chất f(a + h) - (f(a) + f'(a)h) có giá trị xấp xỉ bằng 0, hay

$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.$

Đây cũng là phát biểu cho rằng hàm $x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)$ là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại a.

Lịch sử

Bài chi tiết: Giải tích toán học

Vi tích phân là một nhánh của toán học tập trung vào giới hạn, hàm số, đạo hàm, tích phân và chuỗi vô hạn. Isaac Newton và Gottfried Leibniz tìm ra vi tích phân vào giữa thế kỷ 17.

Ứng dụng của đạo hàm

Ý nghĩa vật lí

Vận tốc tức thời

Xét một chuyển động thẳng có phương trình dạng $s=s(t)$, với $s(t)$ là một hàm số có đạo hàm. Khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức $v(t_{0})=s'(t_{0})=\lim _{t\to t_{0}}{\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}$.

Cường độ tức thời của dòng điện

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay $Q=Q(t)$ với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian $\left\vert t-t_{0}\right\vert$là $I={\frac {Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}}$ hay chỉ là $I(t_{0})=Q'(t_{0})$

Khảo sát sự biến thiên hàm số bằng đạo hàm

Xét tính đơn điệu của hàm số

Ta có thể rút ra tính đơn điệu của một hàm số trên khoảng dựa vào định lý sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng K. Nếu $f'(x)>0,\forall x\in K$ thì hàm số đồng biến trên K, còn nếu $f'(x)<0,\forall x\in K$ thì hàm số nghịch biến trên K.

Nếu $f'(x)\geq 0(f'(x)\leq 0)\forall x\in K,f(x)=0$ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Điều kiện để hàm số có cực trị

Có một điều kiện đủ để xác định điểm cực trị như sau:

Giả sử có số thực dương h và hàm $y=f(x)$ liên tục trên $K=(x_{0}-h;x_{0}+h)$ và có đạo hàm trên $K$. hoặc trên $K\setminus \left\{x_{0}\right\}$.

Nếu $f'(x)>0,\forall x\in (x_{0}-h;x_{0})$ và $f'(x)<0,\forall x\in (x_{0};x_{0}+h)$ thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$.

Nếu $f'(x)<0,\forall x\in (x_{0}-h;x_{0})$ và $f'(x)>0,\forall x\in (x_{0};x_{0}+h)$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.

Sử dụng đạo hàm cấp 2

Giả sử có số thực dương h và hàm $y=f(x)$ liên tục trên $K=(x_{0}-h;x_{0}+h)$ và có đạo hàm cấp 2 trên $K$.hoặc trên $K\setminus \left\{x_{0}\right\}$. Khi đó có kết quả sau:

Nếu $f'(x_{0})=0,f''(x_{0})>0$ thì $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số

Nếu $f'(x_{0})=0,f''(x_{0})<0$ thì $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số

Xem thêm

• Giải tích
• Vi phân
• Giới hạn
• Hàm số
• Tích phân đường
• Tích phân mặt
• Nghịch đảo phép nhân

Chú thích

Thư viện

Sách in

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (ngày 2 tháng 2 năm 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (ấn bản thứ 8), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (tháng 6 năm 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 1 (ấn bản thứ 2), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (tháng 6 năm 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, 1 (ấn bản thứ 2), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Courant, Richard; John, Fritz (ngày 22 tháng 12 năm 1998), Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65058-4
• Eves, Howard (ngày 2 tháng 1 năm 1990), An Introduction to the History of Mathematics (ấn bản thứ 6), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Grossman, Stanley I. (1977), Calculus, Academic Press, ISBN 0-12-304350-6
• Lang, Serge (1968), Analysis I, Addison-Wesley, ISBN 978-0201041729
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (ngày 28 tháng 2 năm 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (ấn bản thứ 4), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (tháng 9 năm 1994), Calculus (ấn bản thứ 3), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (ngày 24 tháng 12 năm 2002), Calculus (ấn bản thứ 5), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (ngày 8 tháng 9 năm 1998), Calculus Made Easy, New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Sách trực tuyến

• Crowell, Benjamin (2017), Fundamentals of Calculus
• (Govt. of TN), TamilNadu Textbook Corporation (2006), Mathematics- vol.2 (PDF), Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 15 tháng 1 năm 2016
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus, Đại học Minnesota
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 4 năm 2006, truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2020
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
• Wikibooks, Calculus

Liên kết ngoài

• Derivative trong Encyclopædia Britannica
• Đạo hàm trong Từ điển bách khoa Việt Nam
• Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• Weisstein, Eric W., "Derivative" từ MathWorld.
• Online Derivative Calculator từ Wolfram Alpha.