Định lý Thomsen

Định lý Thomsen, đặt theo tên Gerhard Thomsen (1899 – 1934), là một định lý trong lĩnh vực hình học phẳng. Định lý phát biểu như sau: Từ một điểm $P_{1}$ trên một cạnh của tam giác ta dựng đường thẳng song song với một cạnh thứ ba và cắt cạnh thứ hai tại điểm $P_{2}$ , từ điểm $P_{2}$ ta lại kẻ một đường thẳng song song với cạnh thứ nhất cắt cạnh thứ ba tại điểm $P_{3}$ quá trình cứ lặp lại như vậy thì điểm thứ $7$ sẽ trùng với điểm thứ nhất.^[1]^[2]

Cho lục giác $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}$ với các cạnh song song với các cạnh của tam giác ABC gọi là lục giác Thomsen. Nếu lục giác $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}$ với các cạnh ngược song song với các cạnh tam giác ABC gọi là lục giác Tucker.

Mở rộng sửa

Khi

B_{7}=B_{1}

khi và chỉ khi sáu điểm

A_{1},A_{2},

A_{3},A_{4},

A_{5},

A_{6}

nằm trên một conic

Cho tam giác $ABC$ , cho hai điểm $A_{1},A_{4}$ trên cạnh BC, hai điểm $A_{2},A_{5}$ trên cạnh $CA$ , hai điểm $A_{3},A_{6}$ trên cạnh $AB$ . Cho $B_{1}$ trên cạnh $BC$ và $B_{1}\neq A_{1}$ . Ta xây dựng một dãy các đường thẳng song song như sau. Đường thẳng qua $B_{1}$ song song với $A_{1}A_{2}$ cắt $AB$ tại $B_{2}$ , đường thẳng qua $B_{2}$ song song với $A_{2}A_{3}$ giao với $AB$ tại $B_{3}$ . Đường thẳng qua $B_{3}$ song song $A_{3}A_{4}$ giao với $BC$ tại $B_{4}$ , đường thẳng qua $B_{4}$ song song với $A_{4}A_{5}$ cắt $BC$ tại $B_{5}$ . Đường thẳng qua $B_{5}$ song song với $A_{5}A_{6}$ giao với $AB$ tại $B_{6}$ , đường thẳng qua $B_{6}$ song song với $A_{6}A_{1}$ giao với $BC$ tại $B_{7}$ . Khi đó $A_{1},A_{2},$ $A_{3},A_{4},$ $A_{5},$ $A_{6}$ nằm trên conic nếu và chỉ nếu $B_{7}=B_{1}$ .^[3]

Khi conic qua sáu điểm $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}$ là inelipse steiner định lý trên suy biến thành định lý Thomsen theorem
Khi conic qua sáu điểm $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},A_{6}$ là đường tròn ngoại tiếp định lý trên suy biến thành đường tròn Tucker và lục giác Tucker