Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

Định lý Menelaus

${\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1$

Chứng minh

*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì $CG\parallel AB$ (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
${\frac {DB}{DC}}={\frac {FB}{CG}}$ $(1)$và ${\frac {EC}{EA}}={\frac {CG}{FA}}$ $(2)$
Nhân $(1)$ và $(2)$ và vế theo vế
${\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}={\frac {FB}{FA}}$
Từ đó suy ra
${\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1$
*Phần đảo: Giả sử ${\frac {FA}{FB}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có ${\frac {F'A}{F'B}}\cdot {\frac {DB}{DC}}\cdot {\frac {EC}{EA}}=1$
Kết hợp giả thiết => ${\frac {FA}{FB}}={\frac {F'A}{F'B}}$
Hay ${\frac {FA}{F'A}}={\frac {FB}{F'B}}={\frac {FA+FB}{F'A+F'B}}={\frac {AB}{AB}}=1$
Nên $F'A=FA$ và $F'B=FB$
=> $F'$ trùng với $F$.
Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm

• Định lý Carnot
• Định lý Ceva

Tham khảo

• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
• Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
• Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
• Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
• Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
• Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.